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课时提升作业 四 充分条件与必要条件
一、选择题(每小题5分,共25分) 1.“φ=”是“cosφ=0”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件
【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.
2.(2016·嘉兴高二检测)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 【解析】选C.A∪B={x∈R|x<0,或x>2}, C={x∈R|x<0,或x>2},
因为A∪B=C,所以x∈A∪B?x∈C,且x∈C?x∈A∪B, 所以x∈A∪B是x∈C的充分条件,同时也是必要条件. 3.下列各小题中,p是q的充分条件的是 ( ) ①p:m<-2,q:y=x+mx+m+3有两个不同的零点; ②p:
=1,q:y=f(x)是偶函数;
2
③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ.
A.① B.③
2
C.②③ D.①②
2
【解析】选D.①y=x+mx+m+3有两个不同的零点,则Δ=m-4(m+3)>0,得m>6或m<-2,所以p是q的充分条件; ②因为
=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以p是q的充分条件;
③当α=β=kπ+时,tanα,tanβ无意义,所以p是q的必要条件.
4.已知q是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选D.等比数列的单调性与首项和公比都有关系.
【误区警示】本题中的等比数列易与等差数列混淆,忽略首项的作用.
5.(2015·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线l,l?α,l∥β B.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β C.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β D.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l,l?α,l∥β,此时α,β可能相交. B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.
C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件. D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.
【补偿训练】(2015·佛山高二检测)已知p:x-x<0,那么命题p的一个充分条件是 ( ) A.1 2 2 B.-1 【解析】选C. x-x<0?0 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.设A,B是非空集合,则A∩B=A是A=B的 条件(填“充分”“必要”). 【解析】当A∩B=A时,只能得出A?B,得不出A=B,但当A=B时,一定有A∩B=A,即由A=B可以推出A∩B=A. 答案:必要 7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是“>1”的 条件(填“充分”“必要”). 【解析】由>1? >0?x>y>0或x 因此“x>y>0”能推断“>1”. 答案:充分 8.(2015·济南高二检测)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是 . 【解析】p:x>1,若p是q的充分条件,则p?q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≤1. 答案:(-∞,1] 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是方程x-3x+2=0的充分条件还是必要条件. 【解析】当x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”、“x=1或x=2”都是方程的充分条件; 当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件 10.(2015·昆明高二检测)已知命题p:对数loga(-2t+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t-(a+3)t+(a+2)<0. (1)若命题p为真,求实数t的取值范围. (2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t+7t-5>0,解得1 . 2 2 2 2 2