内容发布更新时间 : 2024/12/22 17:22:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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的子集B1={x|x=2n∧n∈N} B2={P|P∈N∧P为素数} 等均没有最大元素;
2)(a)令={1,2,3,4,9,14,15} “1”为整除关系,a|b∷=a整除b 则(A,1)为半序集合,其中子集 B={4,9,14,15}有最大下界1,但没有 界小元素。(b)半序集(R,≤)的子集B=(0,1)={ x|x∈R∧o<x≤1 } 有最大下界0,但没有最小元素。 3)(a)令A={1,2,3,30,42},“1”仍为2)的(a)所定义的整除关系。则(A,1)为半序集,其中子集
B={2,3}有上界30,42,但没有最小上界。半序集(Q,≤)的子集
1
2)(a)的Hasse图 342 3 4
14
9
15
3B={ x|x∈Q∧0<x2 =有上界2,等,但无
2界小上界(若有最小上界,必为2,但2?Q)。 39.指出下面的集合中,哪些是半序集合,线序集合
或良序集合? 1)(2N,?) 2)(2{a},?) 3)(2?,?) [解] 结果如下表 (2N,?) (2{a},?) (2?,?) 半序集合 Y Y Y 2
1
3 3)的(a)的Hasse
图
线性序集合 N Y Y 良序集合 N Y Y 其中:Y—yes;N—not。
40.设R是A上的二元关系,若R是自反的,对称的,则称R为一个相容关系。 ....
1) 举出两个相容关系的例子
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2) 设R1,R2是A上的相容关系,那么R1∩R2,R1∪R2是A上的相容关系吗? 请阐明理由。
[解]1)(a)令A={ba||,bed,dog,let,egg}
R={(x,y)|x,y∈A∧x和y含有相同的字母}则R是A上的相容关系。 (b)令A={2166,243,375,648,455}
R={(x,y)|x,y∈A∧x和y含有相同的数字}则R是A上的相容关系。 2)证法一(a)R1∩R2是A上的相容关系。因为 ①R1∩R2是自反的
对任何a∈A,由于R1,R2都是相容关系,所以R1,R2都是自反的,从而(a,a)R1,(a,a)∈R2故(a,a)∈R1∩R2。 ②R1∩R2是对称的
对任何(a,b)∈R1∩R2,可得(a,b)∈R1且(a,b)∈R2。由于R1,R2都是相容关系,所以R1,R2都是对称的,从而(b,a)∈R1且(b,a)∈R2,故此(b,a)∈R1∩R2。 (b)R1∪R2是A上的相容关系。因为 ①R1∪R2是自反的
对任—aA,由于R1,R2都是相容关系,所以R1,R2都是自反的,从而(a,a)∈R1,(a,a)∈R2,故此(a,a)∈R1∪R2。 ②R1∪R2是对称的
对任何(a,b)∈R1∪R2,可得(a,b)∈R1或(a,b)∈R2。由于R1,R2都是相容关系,所以R1,R2都是对称的,从(b,a)∈R1或(b,a)∈R2,故此(b,a)∈R1∪R2。完(1996年1月20日) 证法二(a)R1∩R2是A上的相容关系。因为 ①R1∩R2是自反的
对任何a,a?A?(a,a)?R1?(a,a)?R2 (R1,R2都是自反的)
?(a,a)?R1?R2
所以,R1?R2是自反的; ②R1∩R2是对称的
对任何a,b?A,(a,b)?R1?R2?(a,b)?R1?(a,b)?R2
?(b,a)?R1?(b,a)?R2 (R1,R2都是对称的) ?(b,a)?R1?R2
所以,R1?R2是对称的;
综合①、②,可知R1?R2是相容关系;
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(b)R1?R2是A上的相容关系。因为 ①R1?R2是自反的
对任何a,a?A?(a,a)?R1?(a,a)?R2 (R1,R2都是自反的)
?(a,a)?R1?R2
所以,R1?R2是自反的; ②R1?R2是对称的
对任何a,b?A,(a,b)?R1?R2?(a,b)?R1?(a,b)?R2
?(b,a)?R1?(b,a)?R2 ?(b,a)?R1?R2
所以,R1?R2是对称的;
综合①、②,可知R1?R2是相容关系;
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(R1,R2都是对称的) 精品文档
习题三(第三章函数)
1.在下列关系中,哪些级构成函数? 1){(x,y)|x,y∈N,x+y<10} 2){(x,y)|x,y∈R,y=x2} 3){(x,y)|x,y∈R,x=y2} [解] 1)不能;1)能;3)不能。
2.下列集合能否定义函数?若能,指出它的定义域和值域。 1){(1,(2,3),(2,(3,4)),(3,(3,20))} 2){(1,(2,3),(2,(3,4)),(1,(2,4))} 3){(1,(2,3),(2,(3,4)),(3,(2,3))}
4){(1,(2,3),(2,(3,4)),(3,(1,4)),(4,(1,4))} [解] 1)能,(f)={1,2,3},(f)={(2,3),(3,4),(1,4)。};
2)不能;
3)能,(f)={1,2,3},(f)={(2,3)};
4)能,(f)={1,2,3,4},(f)={(2,3),(3,4),(1,4)}。 3.在下列函数中,哪些是单射的、满射的、双射的? 1)f:N→N,f(n)=n2+1
?0 2)f:N→{0,1},f(n)=??1?0 3)f:N→N,f(n)=??1 5)f:R→R,f(x)=3x-17 6)f:N\\→{0}R,f(n)=log10n
n为奇数n为偶数
n为奇数n为偶数 4)f:N2→N,f(m,n)=mn
7)f:(2x)2→(2A)2,f(A1,A2)=(A1∪A2,A1∩A2)
[解] 1)单射;2)满射;3)即不是单射,也不是满射;4)满射;5)双射;6)单射;
7)即不是单射,也不是满射。
4.设A,B为有限集合,|A|=m,|B|=n,为使下面的结论为真,m,n应满足怎样的
条件?
1) 存在从A到B的单射函数; 2) 存在从A到B的满射函数; 3) 存在从A到B的双射函数;
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[解] 1)mn;2)mn;3)m=n。
5.对下称每一组集合X,Y,构造从X到Y的双射函数。
1) X=(0,1),Y=(0,2) 2) X=I,Y=N 3) X=N,Y=N×N 4) X=I×I,Y=N 5) X=R,Y=(0,∝)
6) 6)X=(-1,1),Y=R
7) 7)X=[0,1],Y=(1,1)
42,,
,,
8) 8)X=2{abc},Y={0,1}{abc}
[解] 1)构造f:(0,1)→(0,2),f(x)=2x,x∈(0,1) 则f-1:(0,2)→(0,1),f-1(x)=x,x∈(0,2)
2??2n?1,当n?0 n∈I ?2)构造f:I→N,f(n)=?,当n?0???2n?1??n?2?1,当n为偶数--1—1
则f:N→I,f(n)=? n∈N
n?1??,当n为奇数2?3)构造f1:N→N×N,f1(n)=(k+1,L+1),n∈N
这里k满足2|n,22|n,…,2K|n及2K+1n(k∈N∪{0})
l=1[(n/2K)-1] (l=N∪{0}) 2?1则f1:N×N→N,(k,l)=n, k,l∈N 这里n=2k-1(2(l-1)+1)
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