内容发布更新时间 : 2024/5/17 16:53:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为

s?s(t)，当t从t变化到t??t时，在间隔?t内的平均速度为

s(t??t)?s(t)，此式只反

?t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使?t?0，即t时刻瞬时速度为v(t)?lims(t??t)?s(t)，也即瞬时速度反映函数

?t?0?ts?s(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线y?f(x)的切线斜率意义；

dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何 dxdQ是电荷Q对时间t的变化率； dtdm⑶ 线密度是质量m对长度l的变化率；

dldQ⑷ 比热容是热量Q对温度θ的变化率，

dθ⑵ 电流强度

以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．

问题2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？

解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件． 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f'?(x0)与右导数f'?(x0)存在并且相等，即

f'(x0)?f'?(x0)?f'?(x0)

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因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：

⑴ 直接用定义；

⑵ 求左、右导数看其是否存在而且相等．

当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往

往比较方便．

2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则． 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：

导数的定义 基本初等函数的导数 式公求导的四则运算法则 复合函数的求导法则反函数的求导法则 初等函数的导数 还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题． 例如，有一定义于(??,??)的函数

??(x),???x?a, f(x)????(x),a?x???,其中?(x)与?(x)分别在区间???x?a与a?x???可导，x?a为其分界点，求

f'(x)．

⑴ ???x?a时，由于f(x)??(x)，所以f'(x)??'(x)； ⑵ a?x???时，由于f(x)??(x)，所以f'(x)??'(x)；

⑶ 在x?a的左、右邻域，由于f(x)要从两个不同的表达式?(x)与?(x)去计值，所以求f'(a)必须先用左、右导数的定义求f'?(a)与f'?(a)．如果它们都存在而且相等，那么f'?(a)=f'?(a)=f'(a)．在这里特别注意求左、右导数要按照定义

f(a??x)?f(a)?(a??x)??(a)?lim?，

?x?0?x?0?x?xf(a??x)?f(a)?(a??x)??(a)?lim? f'?(a)?lim?．

?x?0?x?0?x?x f'?(a)?lim?我们不要因为当???x?a时，f(x)??(x)而认为f'(a)??'(a). 在???x?a精品文档

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时，f'(x)??'(x)是对的，这在上面已经说过但不能误认为?'(a)就是f'(a)，有时f'(a)可能不存在，如下例所示：

证明函数

?1?,x?1， f(x)??x

2??x,x?1在x?1处的导数不存在．

因为

f(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'?(1)?lim??lim??lim?(2??x)?2，

?x?0?x?0?x?0?x?x1?1f(1??x)?f(1)1 f'?(1)?lim??lim?1??x?lim?(?)??1，

?x?0?x?0?x?0?x?x1??x所以f'(1)不存在．

问题3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什

么？

解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．

复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导． 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．

例1

设y?lnsin(1x)，求y'.

22解 令y?lnu，u?v，v?sinw，w?1x，由复合函数求导法则有

y'?y'u?u'v?v'w?w'x?(lnu)'u?(v2)'v?(sinw)'w?(1x)'x

?11?2v?cosw?(?2)?ux11121?2sin?cos?(?2)??2cot， 21xxxxxsinx1如果不写中间变量，可简写成 y'x?(lnsin21)'x?x1111?(sin2)'x?sin2?2sin?(sin)'x 1xxxxsin2x1精品文档