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最新整理初二数学教案八年级数学竞赛例题专题-等

腰三角形的性质

专题16等腰三角形的性质 阅读与思考

等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．

⑴图1中，，，．

⑵图2中，只要下述四个条件：

①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立． 例题与求解

例1如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE， 则∠A=___________． （五城市联赛试题）

解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．

例2如图，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．

（安徽省竞赛试题）

解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．

例3如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

（北京市竞赛试题）

解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．

例4如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为△ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．

（北京市竞赛试题）

解题思路：作等腰△ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN，连结 ，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边△A ，连结BN(如图3)．

例5如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．

（天津市竞赛试题）

解题思路：欲证△AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+ ，考虑用补短法证明．

例6如图，△ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．

（北京市竞赛试题）

解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件． 能力训练 A级

1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．

2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________． 3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则

∠BOQ=____________.

4．如图，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）

A．900-∠AB．900-∠A C．1800-∠AD．450-∠A

6．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（） A．600B．450 C．300D．不确定 （安徽省竞赛试题） 第5题图第6题图

7．△ABC的一个内角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（）

A．1400B．800或1000C．1000或1400D．800或1400 (“希望杯”邀请赛试题)

8．三角形三边长，，满足，则三角形一定是（） A．等边三角形B．以为底边的等腰三角形