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2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)
一、选择题
1.A ∵B={x|x=n,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4},故选A. 2.B
-
2
=
- -
=
-
=
=-1+ i,故选B.
3.B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为 ,故选B. 4.C 由双曲线的离心率e==可知,=,而双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为
y=±x,故选C.
5.B 对于命题p,由于x=-1时,2= > =3,所以是假命题,故p是真命题;
对于命题q,设f(x)=x+x-1,由于f(0)=-1<0, f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x=1-x,故命题q是真命题. 综上,??∧q是真命题,故选B. 6.D 因为a1=1,公比q=,所以an=
-
3
2
3
2
-1
-1
,Sn=
- -
=3 - =3-2
-
=3-2an,故选D.
,- ,7.A 由框图可知s= 即求分段函数的值域.
- , ,当-1≤t<1时,-3≤s<3;
当1≤t≤3时,s=4t-t=-(t-2)+4, 所以3≤s≤4.
综上,s∈[-3,4],故选A.
8.C 如图,设点P的坐标为(x0,y0),由|PF|=x0+ =4 ,
得x0=3 ,代入抛物线方程得, =4 ×3 =24, 2
2
所以|y0|=2 ,所以S△POF= |OF||y0| = × ×2 =2 .故选C.
9.C 因为f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x ·sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项B;当x∈ 0,π)时,1-cos x>0,sin x>0,所以f(x)>0,排除选项A;又函数f(x)的导函数f ' x =sin x·sin x+ 1-cos x ·cos x,所以f '(0)=0,排除D.故选C.
评析 本题考查对函数图象的识辨能力,考查综合运用所学知识的意识,体现了数形结合的思想方法;难点是判断选项C中f '(0)=0. 10.D 由23cosA+cos 2A=0得25cosA=1,
因为A为锐角,所以cos A= .又由a=b+c-2bccos A得49=b+36- b,整理得5b-12b-65=0, 解得b=- (舍)或b=5,故选D.
11.A 由所给三视图可知该几何体是一个组合体,下方是底面为半圆的柱体,底面半圆的半径为2,高为4;上方为长、宽、高分别为4、2、2的长方体.所以该几何体的体积为
2
2
2
2
2
2
2
π×2×4+4×2×2=16+8π,故选A.
评析 本题考查识图能力和空间想象能力以及体积的计算;能正确得出几何体的形状是解
2
题关键.
- , ,12.D |f(x)|=
, ,其图象如图.
由对数函数图象的变化趋势可知,要使ax≤|f x |,则a≤0,且ax≤x-2x x≤0 , 即a≥x-2对x≤0恒成立,所以a≥-2. 综上,-2≤a≤0,故选D. 二、填空题 13.答案 2
解析 b·c=b·[ta+ 1-t b]=ta·b+ 1-t)b
2
2
=t|a||b|cos 60°+ 1-t)|b| = +1-t=1- . 由b·c=0,得1-=0,所以t=2.
2
14.答案 3
解析 可行域为平行四边形ABCD及其内部(如图),
由z=2x-y,得y=2x-z.-z的几何意义是直线y=2x-z在y轴上的截距,要使z最大,则-z最小,所以当直线y=2x-z过点A(3,3)时,z最大,最大值为2×3-3=3. 15.答案
解析 平面α截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH= R,
由圆H的面积为π,得圆H的半径为1,
所以 +1=R,得出R= ,所以球O的表面积S=4πR=4π× = π. 16.答案 -
,
2
2
2
2
解析 f(x)=sin x-2cos x= sin(x-φ),其中cos φ= ,sin φ=
当x-φ=2kπ+ 时,f(x)取得最大值 ,此时x=2kπ+ +φ,即θ=2kπ+ +φ,cos θ=cos =-sin φ=- .
评析 本题考查三角函数的最值问题,考查了运算求解能力;熟练运用三角函数的有关公式是解题关键.