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第三节 等腰三角形与直角三角形
1．(2017武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D )
A．4 B．5 C．6 D．7
(第1题图)
(第2题图)
2．(2017遵义红花岗二模)如图，在△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE＝1，则AC的长为( D )
A.5 B．2 C.3 D.2
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BC＝2，则AC的长为( B )
A.3 B．1 C.2 D．2
(第3题图)
(第4题图)
4．(2017南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( D )
A．(1，1) B．(3，1) C．(3，3) D．(1，3)
5．(2017陕西中考)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( D )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
(第5题图)
(第6题图)
6．(2017东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．
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7．(2017绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为__30°
2或150°或90°__．
8．(聊城中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若AB＝6，则点D到AB的距离是__3__．
??2x－y＝3，
9．(2017遵义航中二模)已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组?则此等腰三角形的周长
?3x＋2y＝8，?
为__5__．
10．(2017遵义十一中二模)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长． 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°， ∵EF⊥DE，
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴ED＝CD＝2，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
11．(汇川升学中考模拟)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝( B )
A. B. C. D.
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(第11题图)
(第12题图)
12．(汇川升学二模)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……，按照此规律继续下去，则S2 015的值为( C )
?2?2 012?2?2 013A.?? B.?? ?2??2??1?C.???2?
2 0121?2 013? D.??
?2?
13．(2017庆阳中考)如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6cm.现将纸片折叠：使点A与15点B重合，那么折痕长等于____cm.
4(第13题图)
(第14题图)
14．(淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__1.2__.
15．(2017长春中考)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形，若EF＝2，DE＝8，则AB的长为__10__．
图①
图②
16．(2017遵义升学三模)如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB是直角，AC＝BC，把一个45°角的顶点放在C处，两边分别与AB交于E，F两点．
(1)将所得△ACE以C为中心，按逆时针方向旋转到△BCG，试求证：△EFC≌△GFC； (2)若AB＝10，AE∶BF＝3∶4，求EF的长． 解：(1)由旋转知：△BCG≌△ACE. ∴CG＝CE，∠BCG＝∠ACE， ∵∠ACE＋∠BCF＝45°， ∴∠BCG＋∠BCF＝45°，
即∠GCF＝∠ECF＝45°，而CF为公共边， ∴△EFC≌△GFC(SAS)；
(2)连接FG，由△BCG≌△ACE知： ∠CBG＝∠A＝45°，
∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°， 由△EFC≌△GFC知：EF＝GF， 设BG＝AE＝3x，BF＝4x， 则在Rt△GBF中，GF＝5x，
∴EF＝GF＝5x，于是3x＋5x＋4x＝10，
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解得x＝，∴EF＝.
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17．(菏泽中考)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.
图①
图②
(1)如图①，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
(2)如图②，E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．
解：(1)△CDF是等腰直角三角形． 理由如下：∵∠ABC＝90°，AF⊥AB， ∴∠FAD＝∠DBC.
∵AD＝BC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC. ∴FD＝DC，∠DCB＝∠FDA. ∵∠DCB＋∠BDC＝90°，
∴∠FDA＋∠BDC＝90°.即∠CDF＝90°. ∴△CDF是等腰直角三角形；
(2)∠APD的度数是一个固定的值．理由如下： 过点A作AF⊥AB，
并截取AF＝BD，连接DF，CF. ∵∠ABC＝90°，AF⊥AB， ∴AF∥CE.
又∵BD＝CE，AF＝BD，
∴AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形． ∴FC∥AE.
∴∠APD＝∠FCD＝45°.