2020-中考数学几何变形题归类辅导 专题03 截长补短法(解析版) 下载本文

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【2019年中考数学几何变形题归类辅导】

专题3:截长补短法

【典例引领】

例题:(2013黑龙江龙东地区)正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F。

(1)如图1,点O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)

(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明。

【答案】图2结论:AF﹣BF=2OE,图3结论:BF-AF=2OE

【分析】(1)过点B作BG⊥OE于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF﹣EF=AE,整理即可得证;(2)选择图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF﹣EF=AE,整理即可得证;选择图3同理可证.

【解答】(1)证明:如图,

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过点B作BG⊥OE于G, 则四边形BGEF是矩形, ∴EF=BG,BF=GE,

在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°, ∵BG⊥OE,

∴∠OBG+∠BOE=90°, 又∵∠AOE+∠BOE=90°, ∴∠AOE=∠OBG, ∵在△AOE和△OBG中,

∴△AOE≌△OBG(AAS), ∴OG=AE,OE=BG,

∵AF﹣EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF, ∴AF﹣OE=OE﹣BF, ∴AF+BF=2OE;

(2)图2结论:AF﹣BF=2OE, 图3结论:AF﹣BF=2OE.

对图2证明:过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,

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则四边形BGEF是矩形, ∴EF=BG,BF=GE,

在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°, ∵BG⊥OE,

∴∠OBG+∠BOE=90°, 又∵∠AOE+∠BOE=90°, ∴∠AOE=∠OBG, ∵在△AOE和△OBG中,

∴△AOE≌△OBG(AAS), ∴OG=AE,OE=BG,

∵AF﹣EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF, ∴AF﹣OE=OE+BF, ∴AF﹣BF=2OE; 若选图3,其证明方法同上

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