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数论之整除性

课前预习

九 进 制

乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。

他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。

科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。但目前对9的研究还很不够，9对人类来说极具神秘性。包括兰伯特在内的数学家们正努力探索9的奥秘，希望在不久的将来对9的研究有更大的突破。

知识框架

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整除性质

（1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数

注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质：

①一个数是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 （7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除

注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9，最后7、11、13，

重难点

1、 熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8×9

2、 已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把余数

减去，如例9

3、 看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5，如例8 4、 重点掌握2、3、5、9、11、99的整除性质

5、 重点掌握求数码和的方法，如例10，此内容是杯赛常考类型，也可与余数问题结合起来

例题精讲

【例 1】 在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.

【巩固】 已知五位数154xy能被72整除，求x+y的值.

【例 2】 六位数3ABABAB是6的倍数，其中A、B表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？

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【巩固】 七位数17562□的末位数字是 的时候，不管千位上是0到9中得哪一个数字，这个七位数

都不是11的倍数

【例 3】 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【巩固】 求出一个最大的十位数，它由0,1,2,3，…,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？

【例 4】 从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？

【巩固】 一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 .

【例 5】 求被11整除且数字和等于43的五位数

【巩固】 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？

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