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2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛

（一）填空题（本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在答题纸指定位置） （1）复数z满足z?5，且(3?4i)z是纯虚数，则z? （2）方程sinx?cosx?1的解为 44(x?1)2?sinx （3）设函数f(x)?的最大值为M，最小值为N，则M?N? 2x?1 （4）如图，O是半径为1的球的球心，点A,B,C在球面上， OA,OB,OC两两垂直，E,F分别是圆弧AB,AC的中 点，则点E,F在该球面上的球面距离是 （5）已知x,y?[0,??)且满足x?y?3xy?1，则xy的最大值为 （6）将正整数列{1,2,3,…}中的所有完全平方数去掉后，按原顺序构成数列{an}，则 a2015? （7）把1,2,3,4,5,6六个数随机排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减，这样 的数列共有 个

（8）设a?1，若关于x的方程a?x无实根，则实数a的取值范围为 （9）在?ABC中，角A,B,C满足A?B?C，且 ?B? （10）已知集合M?{1,2,…,99},现随机选取M中9个元素做成子集,记该子集中的最 小数为?，则E(?)?

（二）解答题 （本大题共4小题，共70分，答题需给出详细的解答过程，没有过程不得分）

x332sinA?sinB?sinC?3，则

cosA?cosB?cosC

（11） （本小题满分15分）求证：不存在这样的函数f:Z??{1,2,3}，满足对任意的 整数x,y，若x?y?{2,3,5}，则f(x)?f(y).

（12） （本小题满分15分）对任意的x和自然数n，比较nsinx和sinxsinnx的大小.

2x2y2 （13） （本小题满分20分）已知椭圆C1:2?2?1，不过原点的直线l和椭圆相交于

ab 两点A,B.

（I）求三角形OAB面积的最大值；

（II）是否存在椭圆C2，使得对于C2的每一条切线和椭圆C1均相交，设交于A,B 两点，且S?OAB恰取最大值？若存在，给出该椭圆；若不存在，说明理由. （14） （本小题满分20分）已知数列{an}满足a1?1,an?1?an?3 （I）求证：当n?2时，an?3n；

1(n?1). 2an （II）当n?4时，求[a9n2]，其中[x]表示不超过x的最大整数.