内容发布更新时间 : 2024/5/4 2:14:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《概率与统计》专项练习（解答题）

1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机

器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损

零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数2420161060161718192021更换的易损零件数

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易

损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

解：（Ⅰ）当x≤19时，y＝3800

当x＞19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700

， ∴y与x的函数解析式为y＝ (x∈N)

， ＞

（Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7

∴n的最小值为19

（Ⅲ）①若同时购买19个易损零件

则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800

∴平均数为 (3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000

②若同时购买20个易损零件

则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500

∴平均数为 (4000×90＋4500×100)＝4050 ∵4000＜4050

∴同时应购买19个易损零件

2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保

人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 0 1 2 3 4 ≥5 上年度出险次数 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 保费 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 0 1 2 3 4 ≥5 出险次数 1

60 50 30 30 20 10 频数 （Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； （Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求

P(B)的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 解：（Ⅰ）若事件A发生，则一年内出险次数小于2

则一年内险次数小于2的频率为P(A)＝ ＝0.55 ∴P(A)的估计值为0.55

（Ⅱ）若事件B发生，则一年内出险次数大于1且小于4

一年内出险次数大于1且小于4的频率为P(B)＝ ＝0.3 ∴P(B)的估计值为0.3

（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为

3．12分）（2016全国Ⅲ卷，文18，下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：

亿吨）的折线图

(0.85a×60＋a×50＋1.25a×30＋1.5a×30＋1.75a×20＋2a×10)＝1.1925a

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理

量． 附注：

参考数据：?yi?9.32，?tiyi?40.17，

i?177?(yi?17i?y)2＝0.55， ≈2.646．

i?1?(t参考公式：相关系数r＝

i?1ni?t)(yi?y)n?(ti?1n．

i?t)2?(yi?y)2i?1 t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 回归方程 ＝ ＋ ＝

?(ti?1ni?t)(yi?y)i?(ti?1n ， ＝ －

?t)2

解：（Ⅰ）由折线图中数据得 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4………………1分

2

由附注中参考数据得

?(ti?17i?t)(yi?y)＝?tiyi－t?yi＝40.17－4×9.32＝2.89

i?1i?177………………………………………………………………………2分7

?(ti?1i?t)22

222222＝(t1?4)?(t2?4)?(t3?4)?(t4?4)?(t4?4)?(t6?4)?(t7?4) ＝28………………………………………………………………3分

72(yi?y)＝0.55………………………………………………4分

?i?1?(tr＝

i?1ni?t)(yi?y)2?(ti?1ni?t)?(yi?1n＝

i2.89?y)2?(ti?1ni?t)?2?(yi?1n＝

i?y)22.89≈0.99

28?0.55………………………………………………………………………5分 ∵y与t的相关关系r近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高 ∴可以用线性回归模型拟合y与t的关系…………………………6分

?y（Ⅱ） ＝

i?17i7＝

≈1.331………………………………………………7分

＝

?(ti?1ni?t)(yi?y)i?(ti?1n?t)2＝ ≈0.103…………………………………8分

≈1.331－0.103×4≈0.92…………………………………9分 ＝ －

∴y关于t的回归方程为 ＝0.92＋0.103t…………………………10分 2016年对应的t＝9…………………………………………………11分 把t＝9代入回归方程得 ＝0.92＋0.103×9＝1.82

∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨………12分

4．（2015全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣

传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(xi－ ) ＝ 2 (wi－ ) ＝ 2 (xi－ )(yi－ ) (wi－ )(yi－ ) ＝ ＝ 3