03第三章 导数与微分 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/22 17:17:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

反函数求 导法则 设y?f(x)的反函数为x??(y),则f?(x)?1(??(y)?0)或 dy?1 ??(y)dxdxdy9. 微分近似公式 (1)微分进行近似计算的理论依据

对于函数y?f(x),若在点x0处可导且导数f?(x0)?0,则当?x很小时,有函

数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式?y?dy.

(2) 微分进行近似计算的4个近似公式

设函数y?f(x)在点x0处可导且导数f?(x0)?0,当?x很小时,有近似公式?y?dy,即

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x,

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x,

令x0??x?x,则

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0),

特别地,当x0?0,x很小时,有

f(x)?f(0)?f?(0)x .

二、主要解题方法 1.用导数的定义求函数导数的方法 例1 求y?xx在x?0处的导数. 解 由导数的定义知

f?(0)?limf(0??x)?f(0)?x?x?0?lim?lim?x?0. ?x?0?x?0?x?x?x?0例2 求 f(x)???ln?1?x?,,?x

x?0x?0 ,的导数.

解 当x?0时,f?(x)?1 , 1?x当x?0时,f?(x)?1, 当x?0时,f?(0)?limx?0

f(x)?f(0)f(x)?f(0)?lim, x?0x?0x6

x?0?1, 所以 f??(0)?limx?0?xln(1?x)?0xf??(0)?lim?limln(1?x)?lne?1,

x?0?x?0?x1因此 f?(0)?1,

?1?于是 f?(x)??1?x??1,,

x?0,x?0.

小结 求分段函数的导数时,除了在分界点处的导数用导数定义求之外,其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 2.

用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法

x?x?3x?13例3 设f(x)?解 f(x)?x23,求f?(x).

16?13x?x?3x?13x?x?x?1?x,

54??2?111f?(x)?x3?x6?x3.

363例 4 设y?ln(x?x?1) 求 y?. 解 利用复合函数求导法求导,得

y??[ln(x?x2?1)]??1x?x2?1(x?x2?1)?

?1x?x2?11x?x2?11x?x?12[1?(x2?1)?]

12x2?1xx?12?[1?(x2?1)?]

1x?12?[1?]?.

小结 若函数变形后能简化求导运算,应先简化后再求导,在求

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高阶导数时更要注意这一点.另外,还要注意应用四则运算法则的前提条件是:函数f(x)在点x0可导,否则法则失效.如y?xx在x?0点,用四则运算法则求导,y?(0)不存在,但由例1知 y?xx在x?0的导数为0.对于复合函数,要根据复合结构,逐层求导,直到最内层求完,对例4中括号层次分析清楚,对掌握复合函数的求导是有帮助的. 3.对数求导方法

x(x2?1)例 5 已知 y= ,求y?.

(x?2)2x解 两边取对数,得:lny?两边对同一自变量x求导,得

1lnx?ln(x2?1)?2ln(x?2), x??1?1112x2?y??2[lnx?ln(x2?1)?2ln(x?2)]?[?2?], yxxx?1x?2xxy??x(x2?1)1x(x2?1)122[?ln???]. 22222(x?2)x(x?2)xx?1x(x?2)小结 对数求导法适合两类函数的求导:(1)幂指函数,(2)函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的. 4.隐含数的求导法

例 6 已知 arctan?lnx2?y2,求y??. 解 两端对x求导,得

1x?()??xy1?()2y?2x?2y?y?2x?y22xy1x2?y2(x2?y2)?,

y2y?xy???222x?yy1x?y22,

整理得 (y?x)y??y?x ,故 y??y?x, y?x 8

上式两端再对x求导,得

y???(y??1)(y?x)?(y??1)(y?x)(y?x)2

yy??y?xy??x?yy??xy??y?x?(y?x)2=

2xy??2y, 2(y?x)y?x将 y??代入上式,得

y?x2x?y???y?x?2yy?x2xy?2x2?2y2?2xy2(x2?y2). ???233(y?x)(x?y)(y?x)小结 在对隐函数求二阶导数时,要将y?的表达式代入y??中,注意,在y??的最后表达式中,切不能出现y?. 5.由参数方程所确定的函数的求导法

?x?t?cost,d2y例7 设? 求 2.

,dx?y?sint?)dy(sitnctos??解 , ?dx(t?cots)1?sitnd2ydy?dcostdcostdtcost?1??()?()??() dx2dxdx1?sintdt1?sintdx1?sintdxdt?sint(1?sint)?cos2t1?1. ???(1?sint)21?sint(1?sint)2小结 求由参数方程所确定的函数的导数时,不必死记公式,可以先求出微分dy、dx,然后作比值

dy,即作微商.求二阶导数时,应dx按复合函数求导法则进行,必须分清是对哪个变量求导. 6.求函数微分的方法

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例8 求函数y?xelntanx的微分.

解一 用微分的定义dy?f?(x)dx求微分, 有

dy?(xelntanx)?dx?[elntanx?xelntanx1?sec2x]dx tanx?elntanx(1?2x)dx. sin2x 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分,得 dy?d(xelntanx)?elntanxdx?xdelntanx

?elntanxdx?xelntanxd(lntanx)

?elntanxdx?xelntanx??elntanxdx?xelntanx?elntanx(1?1d(tanx) tanx11?dx 2tanxcosx2x)dx. sin2x小结 求函数微分可利用微分的定义,微分的运算法则,一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系,有时求微分更方便. 7.利用微分求近似值 例9 求sin29?的近似值.

解 设f(x)?sinx ,由近似公式f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x,得 sinx0(??x)?sinx0?coxs0??x, 取 x0???,?x?? ,则有 6180 sin290??123?(?)?0.4849. 2180例10 有一批半径为1cm的球,为减少表面粗糙度,要镀上一层钢,厚度为0.01cm,估计每只球需要用铜多少克?(铜的密度为8.9gcm)

3解 所镀铜的体积为球半径从1cm增加0.01cm时,球体的增量.故

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