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2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）

1. 【山东肥城】已知函数f(x)?2sin2x?2sin2(x?)，x?R.

6（1）求函数y?f(x)的对称中心；

（2）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

?B?b?c，?ABC的外接圆半径为3，求△ABC周长的最大值. f(?)?262a

【解析】

????f(x)?1?cos2x??1?cos2(x?)??cos(2x?)?cos2x6?3?13?cos2x?sin2x?cos2x 22?31?sin2x?cos2x?sin(2x?). 226（1）令2x??6?k?（k?Z），则x?k???（k?Z）， 212所以函数y?f(x)的对称中心为(k???,0)k?Z； 212（2）由f(31b?cB?b?c?b?csinB?cosB?，得sin(B?)?，即， ?)?222a262a62a整理得3asinB?acosB?b?c，

由正弦定理得：3sinAsinB?sinAcosB?sinB?sinC， 化简得3sinAsinB?sinB?cosAsinB， 又因为sinB?0，

所以3sinA?cosA?1，即sin(A?由0?A??，得?所以A??6)?1， 2?6?A??6?5?， 6?6??6，即A??3，

又?ABC的外接圆的半径为3， 所以a?23sinA?3，由余弦定理得

1

3(b?c)22a?b?c?2bccosA?b?c?bc?(b?c)?3bc?(b?c)?(b?c)?44，即b?c?6，

2222222当且仅当b?c时取等号，所以周长的最大值为9.

2.【河北衡水】已知函数f?x??2asinxcosx?2bcos2x?c?a?0,b?0?，满足

?5???f???0，且当x??0,??时，f?x?在x?取得最大值为.

62?2?（1）求函数f?x?在x??0,??的单调递增区间；

（2）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

a2?b2?c23的取值范围. f?C??，求222a?b?c2

【解析】

（1）易得f?x??5???5????2??sin?2x???，整体法求出单调递增区间为?0,?，?,??； 3?6?6?6??3?a2?b2?c22a2?2b2?ab?ba???2（2）易得C?，则由余弦定理可得2????1， 22a?b?cab3?ab???2??sin??A?bsinB31?1??3???由正弦定理可得????,2?，所以asinAsinA2tanA2?2?a2?b2?c2??3,4?. 222a?b?c

1??3.【山东青岛】已知向量a??cosx,??，b?(3sinx,cos2x)，x?R，设函数

2??f(x)?a?b.

（1）求f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的单调递减区间；

???

（3）求f(x)在?0,?上的最大值和最小值.

?2?

2

【解析】

1?? f(x)??cosx,???(3sinx,cos2x)

2??1?3cosxsinx?cos2x

2?31sin2x?cos2x 22?cos?6sin2x?sin?6cos2x

????sin?2x??.

6??（1）f(x)的最小正周期为T?（2）函数y?sin(2x?2???2???，即函数f(x)的最小正周期为?. 2?6)单调递减区间：

?2?2k??2x??6?3??2k?，k?Z， 2得：

?3?k??x?5??k?，k?Z， 65?????k?,?k??，k?Z.

6?3?∴所以单调递减区间是?（3）∵0?x?∴??2?，

?6?2x??65?. 6由正弦函数的性质， 当2x?当2x?当2x??6??2，即x??3时，f(x)取得最大值1.

?6???6，即x?0时，f(0)??1， 2?5???，即x?时，662

1. 2???1f???， ?2?2∴f(x)的最小值为?因此，f(x)在?0,

1???

?上的最大值是，最小值是. 1?2?2?

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