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2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

A题 车灯线光源的优化设计 参考答案

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一. 假设和简化 (略) 二. 模型的建立

建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W，B,C点的光强度分别为hB(l)W和

hC(l)W，先求hB(l)和hC(l)的表达式，再建立整个问题的数学模型.

x2?y2以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z?，焦点坐标为

60（0,0,15）。

1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量

?x2?y2?).记入射向量为a,该点反射面外法线方向为b,不难得设反射点的坐标为Q(x,y,60?到反射向量c满足

222z 记r?x?y,由

?从而得c?(cx,cy,cz)的表达式

注意到反射光通过C点,应有

A B C c r2?900其中k为常数. 从上述第一式可解得x?0或k??.由此得反射点坐标满足以下2wyP 两组方程:

通过计算可知,存在w0Ca y 0 Q C22??1.56,当w?w0时第一组方程不存在满足r?36的实b x C2根,即无反射点. 而当w?w0时,有两个反射点Qi(0,yi,yi/60),i?1,2.

而第二组方程仅当?3.8119?w??1.5609时存在满足r?36的一对实根,即

22x2?y2),记为Q3,Q4. 有两个反射点(?x,y,60 若反射点的坐标为Q(x,y,z),则位于点P(0,w,15)的单位能量点光源经Q点反射

到C点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为 其中

而?为反射向量与z轴的夹角, 2)hB(l),hC(l)的表达式

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长l的具有单位能量的线光源位于点P(0,w,15)的长dw的微小线光源段反射到C点的能量密度为 其中

长l的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为 类似可得hB(l)的表达式.相应的反射点方程为

B相应的w0??0.78,而第二组方程的有两个反射点的范围为w?[?1.906,?0.7800005].

3） 优化设计的数学模型

设线光源的功率为W, 则它反射到B点和C点的能量密度分别为hB(l)?W和

hC(l)?W.问题的数学模型为:

三. 模型的求解

hB(l),hC(l)可以用数值积分求得. hB(l)应具备下列性质：

'其中lB为起亮值，lB为最大值点，l0为考察的最大范围，例如取为20mm。hC(l)也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解hB(l)?2hC(l),记其解为l?l*,再求出

''''''lB,lC,不难看出lB?lC且l*落在(lB,lC)之中。

令w*?1/hC(l*)?2/hB(l*)现证w*为问题之最优值。事实上，对可行域中任一(l,w)， 当l?l*,有w?2H/hB(l)?2H/hB(l*)?w*,（用到l?l*时hB?）。

当l?l*，有w?H/hC(l)?H/hC(l*)?w*，（用到l?l*时hc?）。 这就证明了w*的确是最小值。

'' 事实上数值结果为lB?3.16,lC?6.22,l*?3.62.

四. 反射光亮区的计算

分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的. 五. 注记

(1) 计算hB(l), (hC(l))的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B(或C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的

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面积即为B(或C)点的反射能量密度.

但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(或C)点附近小面元的取法等).

(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

B题 彩票中的数学 参考答案

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。

1. 模型假设与符号说明

彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的； 彩民购买彩票是随机的独立事件；

对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额； 根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T =35年。 rj---第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j?1,2,3； xi----第i等奖奖金额均值，1?i?7； pi----彩民中第i等奖xi的概率，1?i?7；

?(xi)----彩民对某个方案第i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1?i?7； ?----某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数； F----彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；

2. 模型的准备

（1）彩民获各项奖的概率

从已给的29种方案可知，可将其分为四类,K1:10选6+1（6+1/10）型、K2: n选

m(m/n) 型、K3:n选m?1(m?1/n)型和K4:n选m(m/n)无特别号型，分别给出各种