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2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

22

1. 设集合P1={x|x+ax+1＞0}，P2={x|x+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）

A. 对任意a，P1是P2的子集 B. 对任意a，P1不是P2的子集 C. 存在a，使得P1不是P2的子集 D. 存在a，使得P2是P1的子集 【答案】A

222

【解析】解：由x+ax+1＞0，则有x+ax+2=x+ax+1+1＞0+1＞0，

2222

由x+ax+2＞0，则有x+ax+1=x+ax+2-1＞-1，不能推出x+ax+1＞0， 即P1?P2， 故选：A．

22222

由不等式的性质得：由x+ax+1＞0，则有x+ax+2=x+ax+1+1＞0+1＞0，由x+ax+2＞0，不能推出x+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1?P2，得解．

本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．

22

2. △ABC中，a：b=tanA：tanB，则△ABC一定是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D

22

【解析】解：∵a：b=tanA：tanB， 由正弦定理可得，∵sinAsinB≠0 ∴

=

=

∴sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A+2B=π

∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形

故选：D．

22

由已知a：b=tanA：tanB，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断

本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．

2

3. 抛物线y=2x上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（ ）

A.

【答案】A

B. C. D. 1

【解析】解：设直线AB的方程为y=kx+b，联立

2

由题意可得△=k+8b＞0．

2

，化为2x-kx-b=0，

∴x1+x2=，x1x2=-． ∵|AB|=

×

=3，

1

1

AB中点M的纵坐标=x=+b==．

故选：A．

设直线AB的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．

熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．

n+1

4. 已知正数数列{an}满足an+1≥2an+1，且an＜2对n∈N*恒成立，则a1的范围为（ ）

A. [1，3] B. （1，3） C. （0，3] D. （0，4） 【答案】C

【解析】解：正数数列{an}满足an+1≥2an+1， 可得1+an+1≥2（an+1），

设bn=1+an，（an＞0，bn＞1）

即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，bn≥2bn-1，

n-1

累乘可得bn≥b1?2，

n-1

可得1+an≥（1+a1）?2，

n+1

又an＜2对n∈N*恒成立，

n+1n-1

可得1+2＞1+an≥（1+a1）?2，

n+1n-1

即有1+2＞（1+a1）?2， 可得a1＜3+由3+

恒成立，

＞3，

可得0＜a1≤3． 故选：C．

由条件可得1+an+1≥2（an+1），设bn=1+an，（an＞0，bn＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．

本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______． 【答案】?

【解析】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}； ∴A∩B=?． 故答案为：?．

可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．

6. 已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______． 【答案】[-2，0]

【解析】解：∵cos∈[-1，1]； ∴； 即y∈[-2，0]；

∴该函数的值域为[-2，0]． 故答案为：[-2，0]． 可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．

考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos

7. 若行列式【答案】4

【解析】解：∵行列式

=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．

的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．

的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），

∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），

∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2）， 解得a=4． 故答案为：4．

推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．

本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

33

8. 在（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是______． 【答案】（，）

33

【解析】解：由题意，设f（x）=sinx-cosx，x∈（0，2π），

22

∴f（x）=（sinx-cosx）（sinx+sinxcosx+cosx）

=（sinx-cosx）（1+sin2x）， 又1+sin2x＞0恒成立， ∴sinx-cosx＞0，即sinx＞cosx， 即＜x＜时，f（x）＞0，

33

∴（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（，）．

故答案为：（，）．

33

设f（x）=sinx-cosx，x∈（0，2π），化f（x）=（sinx-cosx）（1+sin2x），判断sinx-cosx＞0时（x）＞0，

由此求出不等式成立的x的取值范围．

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．

9. 在等差数列{an}中，S7=8，则a4=______． 【答案】

【解析】解：在等差数列{an}中，由S7=得

．

，

故答案为：．

由等差数列的性质及前n项和列式求解．

3

1

本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．

x-1

10. 已知f（x+1）=2-2，那么f（2）的值是______． 【答案】3

【解析】解：令t=x+1则x=t-1

t-1

所以f（t）=2-2

x-1

所以f（x）=2-2

x-1

令f（x）=2-2=2，解得x=3 -1

∴f（2）=3 故答案为：3．

x-1

令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2-2=2，求出相应的x，

-1

即为f（2）的值．

已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．

11. 甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______． 【答案】

【解析】解：甲、乙相邻的方法有所以所求的概率为P==． 故答案为：．

4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

12. 若P（x，y）是双曲线【答案】2

上的动点，

上的动点，则|x-y|最小值是______．

=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有

=4种情况，

【解析】解：P（x，y）是双曲线设：x=所以|x-y|=|

，y=2tanθ， -2tanθ|=

=

，

）距离的2倍，可得：

表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，

∈[2

，2+2

]，

2． 故答案为：2

利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

13. 设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，

则这样的PQ所构成的区域体积为______． 【答案】