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2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷
一、选择题(本大题共4小题,共12.0分)
22
1. 设集合P1={x|x+ax+1>0},P2={x|x+ax+2>0},其中a∈R,下列说法正确的是( )
A. 对任意a,P1是P2的子集 B. 对任意a,P1不是P2的子集 C. 存在a,使得P1不是P2的子集 D. 存在a,使得P2是P1的子集 【答案】A
222
【解析】解:由x+ax+1>0,则有x+ax+2=x+ax+1+1>0+1>0,
2222
由x+ax+2>0,则有x+ax+1=x+ax+2-1>-1,不能推出x+ax+1>0, 即P1?P2, 故选:A.
22222
由不等式的性质得:由x+ax+1>0,则有x+ax+2=x+ax+1+1>0+1>0,由x+ax+2>0,不能推出x+ax+1>0,由集合间的关系得:P1?P2,得解.
本题考查了集合间的关系,不等式的性质,属简单题.
22
2. △ABC中,a:b=tanA:tanB,则△ABC一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D
22
【解析】解:∵a:b=tanA:tanB, 由正弦定理可得,∵sinAsinB≠0 ∴
=
=
∴sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=,即三角形为等腰或直角三角形
故选:D.
22
由已知a:b=tanA:tanB,利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简,然后结合二倍角公式在进行化简即可判断
本题考查同角三角函数的基本关系,正弦定理的应用,式子变形是解题的关键和难点.
2
3. 抛物线y=2x上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长度为3,则点M的纵坐标的最小值为( )
A.
【答案】A
B. C. D. 1
【解析】解:设直线AB的方程为y=kx+b,联立
2
由题意可得△=k+8b>0.
2
,化为2x-kx-b=0,
∴x1+x2=,x1x2=-. ∵|AB|=
×
=3,
1
1
AB中点M的纵坐标=x=+b==.
故选:A.
设直线AB的方程为y=kx+b,与抛物线方程联立得到△>0即根与系数的关系,再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出.
熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△>0,即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键.
n+1
4. 已知正数数列{an}满足an+1≥2an+1,且an<2对n∈N*恒成立,则a1的范围为( )
A. [1,3] B. (1,3) C. (0,3] D. (0,4) 【答案】C
【解析】解:正数数列{an}满足an+1≥2an+1, 可得1+an+1≥2(an+1),
设bn=1+an,(an>0,bn>1)
即有b2≥2b1,b3≥2b2,…,bn≥2bn-1,
n-1
累乘可得bn≥b1?2,
n-1
可得1+an≥(1+a1)?2,
n+1
又an<2对n∈N*恒成立,
n+1n-1
可得1+2>1+an≥(1+a1)?2,
n+1n-1
即有1+2>(1+a1)?2, 可得a1<3+由3+
恒成立,
>3,
可得0<a1≤3. 故选:C.
由条件可得1+an+1≥2(an+1),设bn=1+an,(an>0,bn>1),运用累乘法,结合不等式恒成立,即可得到所求范围.
本题考查数列的递推式,注意累乘法的运用,考查等比数列的通项公式,考查不等式的性质和恒成立思想,属于中档题.
二、填空题(本大题共12小题,共36.0分) 5. 设A={x||x|≤2018,x∈R},B={x|y=,x∈R},则A∩B=______. 【答案】?
【解析】解:A={x|-2018≤x≤2018},B={2019}; ∴A∩B=?. 故答案为:?.
可解出集合A,B,然后进行交集的运算即可.
考查描述法、列举法的定义,绝对值不等式的解法,以及交集的运算.
6. 已知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[-2,0],则函数y=f(cos)的值域是______. 【答案】[-2,0]
【解析】解:∵cos∈[-1,1]; ∴; 即y∈[-2,0];
∴该函数的值域为[-2,0]. 故答案为:[-2,0]. 可以看出-1,从而对应的函数值,这便得出了该函数的值域.
考查函数定义域、值域的概念,本题可换元求值域:令cos
7. 若行列式【答案】4
【解析】解:∵行列式
=t,-1≤t≤1,从而得出f(t)∈[-2,0].
的展开式的绝对值小于6的解集为(-1,2),则实数a等于______.
的展开式的绝对值小于6的解集为(-1,2),
∴|ax-2|<6的解集为(-1,2),
∴-6<ax-2<6,即-4<ax<8解集为(-1,2), 解得a=4. 故答案为:4.
推导出|ax-2|<6的解集为(-1,2),从而-4<ax<8解集为(-1,2),由此能求出a的值.
本题考查实数值的求法,考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
33
8. 在(0,2π)内使sinx>cosx成立的x的取值范围是______. 【答案】(,)
33
【解析】解:由题意,设f(x)=sinx-cosx,x∈(0,2π),
22
∴f(x)=(sinx-cosx)(sinx+sinxcosx+cosx)
=(sinx-cosx)(1+sin2x), 又1+sin2x>0恒成立, ∴sinx-cosx>0,即sinx>cosx, 即<x<时,f(x)>0,
33
∴(0,2π)内使sinx>cosx成立的x的取值范围是(,).
故答案为:(,).
33
设f(x)=sinx-cosx,x∈(0,2π),化f(x)=(sinx-cosx)(1+sin2x),判断sinx-cosx>0时(x)>0,
由此求出不等式成立的x的取值范围.
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化应用问题,是中档题.
9. 在等差数列{an}中,S7=8,则a4=______. 【答案】
【解析】解:在等差数列{an}中,由S7=得
.
,
故答案为:.
由等差数列的性质及前n项和列式求解.
3
1
本题考查等差数列的前n项和,考查等差数列的性质,是基础题.
x-1
10. 已知f(x+1)=2-2,那么f(2)的值是______. 【答案】3
【解析】解:令t=x+1则x=t-1
t-1
所以f(t)=2-2
x-1
所以f(x)=2-2
x-1
令f(x)=2-2=2,解得x=3 -1
∴f(2)=3 故答案为:3.
x-1
令t=x+1,将已知等式中的x一律换为t,求出f(t)即得到f(x),然后令f(x)=2-2=2,求出相应的x,
-1
即为f(2)的值.
已知f(ax+b)的解析式,求f(x)的解析式,一般用换元的方法或配凑的方法,换元时,注意新变量的范围,同时考查了反函数求值,属于基础题.
11. 甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概率为______. 【答案】
【解析】解:甲、乙相邻的方法有所以所求的概率为P==. 故答案为:.
4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有12种,其中甲丙相邻的只有4种,由此能求出甲乙相邻,则甲丙相邻的概率.
本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
12. 若P(x,y)是双曲线【答案】2
上的动点,
上的动点,则|x-y|最小值是______.
=12种情况,如果满足甲、丙相邻,则有
=4种情况,
【解析】解:P(x,y)是双曲线设:x=所以|x-y|=|
,y=2tanθ, -2tanθ|=
=
,
)距离的2倍,可得:
表达式的几何意义是单位圆上的点与(0,
∈[2
,2+2
],
2. 故答案为:2
利用双曲线方程,通过三角代换转化求解x,y,然后求解|x-y|的最小值. 本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
13. 设点P到平面α的距离为,点Q在平面α上,使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°,
则这样的PQ所构成的区域体积为______. 【答案】