内容发布更新时间 : 2024/11/20 18:36:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第18讲 锐角三角函数及其应用

1．锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，

a

∠A、∠B、∠C对应的边分别为a，b，c，则：∠a的正弦sinA＝；

cba

∠a的余弦cosA＝__；∠a的正切tanA＝.

cb

2．特殊角的三角函数值

30°，45°，60°的三角函数值，如下表：

正弦 1 2余弦 3 2正切 3 330° 45° 2 22 21 60° 3 21 23 3.解直角三角形的常见类型及解法

已知条件 图形 解法 一直角边和一锐角(a，∠A) aa∠B＝90°－∠A，c＝，b＝ sinAtanA

已知斜边和一个锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA, b＝c·cosA ac＝a2＋b2，由tanA＝求∠A，∠B＝b 90°－∠A ab＝c2－a2，由sinA＝求∠A，∠B＝c 90°－∠A 已知两直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a) 4．锐角三角函数的实际应用中的常见概念 (1)铅垂线：重力线方向的直线；

(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角；

(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，h

用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；

l(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．

注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.

考点1：直角三角形的边角关系

12

【例题1】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝2.求：

32(1)BC的长； (2)sin∠ADC的值．

【解析】：(1)过点A作AE⊥BC于点E. ∵cosC＝

2

，∴∠C＝45°. 2

在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1， ∴AE＝CE＝1.

1AE1

在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，

3BE3∴BE＝3AE＝3. ∴BC＝BE＋CE＝4.

1

(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.

2∴DE＝CD－CE＝1.

∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°. ∴sin∠ADC＝

2. 2

归纳： 1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角． 2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．

3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解．

4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具． 考点2：锐角三角函数的实际应用