内容发布更新时间 : 2024/12/22 16:15:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

考点35直线与圆锥曲线的位置关系

一、解答题

x2y21.(2016·全国卷Ⅱ理科·T20)已知椭圆E:+ =1的焦点在x轴上,A是E的左顶

t3点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积. (2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

【解题指南】(1)当t=4时,椭圆方程是确定的,又|AM|=|AN|,可利用弦长公式将

|AM|,|AN|用k表示出来,从而建立k的方程,解方程可求k,进而可求三角形的面积.(2)利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,整理可得t和k的关系,利用椭圆的焦点在x轴上这一隐含条件,建立k的不等式,解不等式,可求得取值范围.

x2y2【解析】(1)当t=4时,椭圆E的方程为=1,A点坐标为(-2,0), +t3则直线AM的方程为y=k(x+2).

?x2y2??1,?联立?4并整理得, 3?y?k?x?2??(3+4k)x+16kx+16k-12=0, 8k2?6解得x=-2或x=-, 3?4k28k2?6122?2=1?k?则|AM|=1?k? 3?4k23?4k222222因为AM⊥AN, ?1?所以|AN|=1??????k?212?1?3?4?????k?2 =1?k2?1243k?k. 因为|AM|=|AN|,k>0, 所以1?k2?1243k?k2

=1?k2?1243k?k,

整理得(k-1)(4k+k+4)=0, 2

4k+k+4=0无实根,所以k=1.

1所以△AMN的面积为AM221?12?144=?1?1?=. ?2?3?4?492(2)直线AM的方程为y=k(x+t),

?x2y2??t?3?1,联立?并整理得,

?y?kx?t,????(3+tk)x+2ttkx+tk-3t=0,

ttk2?3t解得x=-t或x=-, 3?tk222222

ttk2?3t?所以|AM|=1?k?3?tk22t=1?k2?6t, 3?tk2同理可求|AN|=1?k2?因为2|AM|=|AN|, 所以2·1?k2?6t, 23?tk6t=1?k2?23?tk6tt3k?k,

6k2?3k整理得,t=3.

k?26k2?3k因为椭圆E的焦点在x轴,所以t>3,即3>3, k?2?k整理得

2?1k3?2??k?2?<0,

解得320)

43的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积. (2)当2|AM|=|AN|时,证明:3 0, 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,

x2y22

将x=y-2代入=1,得7y-12y=0. +43π, 4解得y=0或y=

1212,所以y1=. 77

2

11212144因此△AMN的面积为2×××=.

27749(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),代入得(3+4k)x+16kx+16k-12=0,

8k2?616k2?12由x1·(-2)=,得x1=-,

3?4k23?4k2121?k2故|AM|=|x1+2|1?k=,

3?4k222

2

2

2

x2y2=1, +431由题意设直线AN的方程为y=- (x+2),

k121?k2故同理可得|AN|=, 23?4k由2|AM|=|AN|,得

3

2

2k, =223?4k3k?4即4k-6k+3k-8=0,

32

设f(t)=4t-6t+3t-8,则k是f(t)的零点,

22

f'(t)=12t-12t+3=3(2t-1)≥0, 所以f(t)在(0,+∞)上单调递增, 又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,

因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,故3

32

,抛物线E:x=2y的焦点F是C的一个顶点. 2

(1)求椭圆C的方程.

(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. ①求证:点M在定直线上;

②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求得最大值时点P的坐标.

12

【解题指南】(1)由抛物线E:x=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b=,再由离心率

2可求a.

S1S2的最大值及取

3