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2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（ ） A．150° B．120° C．60° D．30°
2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6） 3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ） A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m∩β，则α⊥β 4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（ ） A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1
5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60° D．90°
6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（ ） A．6π B． C．3π D．12π
7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（ ） A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1
8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么
的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示，若 该几何体的表面积为64+80π，则 r=（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（ ）
A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交
C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离
二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上） 13．x﹣y﹣=0恒过的一个定点是 ． 不论k为何值，直线（2k﹣1）（k﹣2）（k+4）
14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为 ．
15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是 ． 16．若直线x+y=k与曲线y=
恰有一个公共点，则k的取值范围是 ．
17．A1在底面ABC内的射影为△ABC已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，
的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 ．
18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）
三、解答题：（本大题共5题，满分60分）
19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4） ，B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标
（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程； （3）求△ACD的面积．
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20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD，设E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC； （Ⅲ） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．
21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；
（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）
22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4， （1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；
（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．
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2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（ ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【考点】直线的倾斜角．
【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案．
【解答】解：化直线方程y﹣3=（x﹣4）为， 可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 则tan， ∴α=60°． 故选：C．
2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6） 【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．
【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z）， 则x=1，y=﹣3，z=﹣6，
所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）． 故选：C．
3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ） A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m∩β，则α⊥β
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，m与n平行或异面；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；
在B中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确； 在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确． 故选：B．
4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（ ） A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
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【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣2=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．
当m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣m×
=﹣1，解得m=1．
综上可得：m=0，或m=1． 故选：C．
5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60° D．90° 【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为 E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．
【解答】解：取A′A的中点为 E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角，
由题意得 B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°， 故选 D．
6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（ ） A．6π B． C．3π D．12π 【考点】球的体积和表面积．
【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出体积 【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径， 设球的半径为r， 所以2r=
=
，
=
π
所以这个球的体积积：
故选：B．
7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（ ） A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程．
【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，
故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，
故选：A．
8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么
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的最小值为（ ）