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2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理科）
参考公式：
? 如果事件A，B互斥，那么P?A?B??P?A??P?B?； ? 如果事件A，B相互独立，那么P?AB??P?A?P?B?；
? 柱体的体积公式V?Sh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高；
1? 锥体体积公式V?Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．
3第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年天津，理1，5分】已知集合A??1,2,3,4?，B?yy?3x?2,x?A?，则A?B?（ ）
（A）?1? （B）?4? （C）?1,3? （D）?1,4? 【答案】D 【解析】把x?1,2,3,4分别代入y?3x?2得：y?1,4,7,10，即B??1,4,7,10??，∵A??1,2,3,4?，∴A?B??1,4?，
故选D．
【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要
注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．
?x?y?2?0?（2）【2016年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件?2x?3y?6?0，则目标函数
?3x?2y?9?0?z?2x?5y的最小值为（ ）
（A）?4 （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B
?x?y?2?0?【解析】作出不等式组?2x?3y?6?0表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0:2x?5y?0，图中的
?3x?2y?9?0?虚线，平移直线l0，可得经过点?3,0?时，z?2x?5y取得最小值6，故选B．
【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目
标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
（3）【2016年天津，理3，5分】在?ABC中，若AB?13，BC?3，?C?120?，则AC?（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A
BC?3，?C?120?，AB2?BC2?AC2?2AC?BCcosC，13?9?AC2?3AC，【解析】在?ABC中，若AB?13，得：
解得AC?1或AC??4（舍去），故选A．
【点评】（1）正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求
解也可以用余弦定理求解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．
（4）（4）【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 【答案】B
【解析】第一次判断后：不满足条件，S?2?4?8，n?2，i?4；第二次判断不满足条件n?3；
第三次判断满足条件：S?6，此时计算S?8?6?2，n?3，第四次判断n?3不满足条件，
1
第五次判断S?6不满足条件，S?4．n?4，第六次判断满足条件n?3，故输出S?4，故选B．
【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结
构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．
（5）【2016年天津，理5，5分】设?an?是首项为正数的等比数列，公比为q则“q?0”是“对任意的正整数n，
a2n?1?a2n?0”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】?an?是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q?0”是“对任意的正整数n，a2n?1?a2n?0”不一定 1?1?1111成立，例如：当首项为2，各项为2，…，此时2???1??1?0，??????0； q??时，?，?1，，
2?4?4224而“对任意的正整数n，a2n?1?a2n?0”，前提是“q?0”，则“q?0”是“对任意的正整数n，a2n?1?a2n?0” 的必要而不充分条件，故选C．
【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图
示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．（2）等价法：利用p?q与非q?非p，q?p与非p?非q，p?q与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
x2y2（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线?2?1?b?0?，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
4bC，D四点，圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
22222222x3yx4yxyxy（A）??1 （B）??1 （C）?2?1 （D）??1
444441243【答案】D
b【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2?y2?4，双曲线两条渐近线方程为y??x，
2?b??b?设A?x,x?，则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x?bx?2b，∴x??1，将A?1,?代入x2?y2?4，
?2??2?b2x2y22可得1??4，∴b?12，∴双曲线的方程为??1，故选D．
4412【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定
位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2?1?AB?0?．②若已知渐近线方程为mx?ny?0，则双曲线方程可设为
m2x2?n2y2?????0?．
（7）【2016年天津，理7，5分】已知?ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，
????????连接DE并延长到点F，使得DE?2EF，则AF?BC的值为（ ）
51111（A）? （B） （C） （D）
4888【答案】B
????????????????????????【解析】由DD、E分别是边AB、BC的中点，DE?2EF，AF?BC?AD?DF?AC?AB
?????3??????????????1????3??????????????????1????23????21????1?????AB?DE??AC?AB??AB?AC??AC?AB?AC?AB?AC?AB，
24442?2??2?31111 ???1?1???，故选B．
44228【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基
底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
????2
2??x?(4a?3)x?3a,x?0（8）【2016年天津，理8，5分】已知函数f(x)??（a?0，且a?1）在R上单调递减，
x?0??loga(x?1)?1,且关于x的方程f(x)?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
?2??12??3??12??3??23?（A）?0,? （B）?,? （C）?,???? （D）?,????
?3??33??4??33??4??34?【答案】C
【解析】y?loga?x?1??1在?0,???递减，则0?a?1，函数f?x?在R上单调递减，则
?3?4a?2?0?13；解得，?a?；由图象可知，在?0,???上，?0?a?134?20?4a?3?0?3a?log0?1?1????a??f(x)?2?x有且仅有一个解，故在???,0?上，f(x)?2?x同样有且仅有一个解，
22当3a?2即a?时，联立x2??4a?3??3a?2?x，则???4a?2??4?3a?2??0，
33?12??3?解得a?或1（舍去），当1?3a?2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为?,????，
4?33??4?故选C．
【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不
等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）【2016年天津，理9，5分】已知a，b?R，i是虚数单位，若?1?i??1?bi??a，则【答案】2
?a?2?1?b?aa【解析】∵?1?i??1?bi??1?b??1?b?i?a，a,b?R，∴?，解得：?，∴?2．
b?1?b?0?b?1【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运
算技巧和常规思路，如(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i,(a,b,c.d?R)，a的值为 ． ba?bi(ac?bd)?(bc?ad)i?(a,b,c.d?R)，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a?bi(a,b?R)c?dic2?d2的实部为a、虚部为b、模为a2?b2、共轭为a?bi．
1??（10）【2016年天津，理10，5分】?x2??的展开式中x7的系数为 ．（用数字作答）
x??【答案】?56
8【解析】Tr?1?C?xr828?r?r?1??21?r16?3r716?3r?7r?3???1Cx，令，解得．∴??8???x??的展开式中x的系数为
x??x??r8??1?33C8??56．
【点评】（1）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n?r）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．
（11）【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图
如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 m3．
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