内容发布更新时间 : 2024/11/15 4:59:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
中档大题规范练——数列
1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18. (1)若1 n (2)设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn ?2n＋1?Snn均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由． 解 (1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18， 又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根， 又公差d>0，所以a2 ?a1＋d＝5，?所以?① ??a1＋3d＝13， 所以a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3. 由1 即1×81＝(4i－3)2，解得i＝3. n?n－1? (2)由(1)知，Sn＝n×1＋2×4＝2n2－n， 1111 所以bn＝＝2(－)，② ?2n－1??2n＋1?2n－12n＋1所以b1＋b2＋…＋bn 111111＝2(1－3＋3－5＋…＋－) 2n－12n＋1＝n ， 2n＋1 n111因为＝2－<2，③ 2n＋12?2n＋1? 1 所以存在m＝2使b1＋b2＋…＋bn 令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2. 当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1， 两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，an＝2n－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②，得 －Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n. 从而Bn＝1＋(n－1)·2n. 即数列{nan}的前n项和为1＋(n－1)·2n. 3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn＝an＋2n. (1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； 6n－3 (2)若数列cn＝bn，Tn是数列{cn}的前n项和，证明：Tn<3. ?2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，? (1)解 当n≥2时，由? ??2Sn－1＝an－2n＋1 ?2an＝an＋1－an－2n ?an＋1＝3an＋2n， 从而bn＋1＝an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)＝3bn， 故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列， bn＝an＋2n＝3×3n－1＝3n， an＝3n－2n(n≥2)， 因为a1＝1也满足，于是an＝3n－2n. 6n－32n－1 (2)证明 cn＝bn＝， 3n－1 2n－32n－1135 则Tn＝30＋31＋32＋…＋＋，① 3n－23n－12n－32n－11135 Tn＝＋＋＋…＋＋3n，② 33132333n－12n－121222①－②，得3Tn＝30＋31＋32＋…＋－3n 3n－111－ 3n－12n－12 ＝1＋3·1－3n 1－32n－11 ＝2－－3n 3n－12?n＋1?＝2－3n， n＋1 故Tn＝3－<3. 3n－1 1 4．已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2(a2n＋n)． (1)求数列{an}的通项公式； 1??，n为奇数，a2n＋1－1(2)设cn＝?求数列{cn}的前n项和Tn. ??3×2an－1＋1，n为偶数，1 解 (1)n＝1时，a1＝2(a21＋1)，得a1＝1， 1 由Sn＝2(a2n＋n)，① 1则当n≥2时，Sn－1＝2(a2n－1＋n－1)，② 1①－②得an＝Sn－Sn－1＝2(a2n－a2n－1＋1)， 化简得(an－1)2－a2n－1＝0， an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)， 又{an}是单调递增数列，故an－an－1＝1， 所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. 1??，n为奇数，a2n＋1－1(2)cn＝? ??3×2an－1＋1，n为偶数， 当n为偶数时， Tn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn) 111n＝(＋＋…＋)＋3×(21＋23＋…＋2n－1)＋2 22－142－1n2－1n 2?1－42?111n＝1×3＋3×5＋…＋＋3×＋2 ?n－1?×?n＋1?1－41111111nn ＝2×(1－3＋3－5＋…＋－)＋2×(42－1)＋2 n－1n＋1n2－2n－4 ＝2n＋1＋. 2?n＋1? 当n为奇数时， Tn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1) n－1111 ＝[＋＋…＋]＋3×(21＋23＋…＋2n－2)＋2 22－142－1?n＋1?2－1n－1n－11111111＝2×(1－3＋3－5＋…＋n－)＋2×(42－1)＋2 n＋2n2－2n－9 ＝2n＋. 2?n＋2? n2－2n－92n＋?n为奇数?，??2?n＋2? 所以Tn＝?n2－2n－4 2n＋1＋?n为偶数?.??2?n＋1?