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（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第六章 数列 课时达标检测
（三十一）数列求和与数列的综合问题
一、全员必做题
1．(2017·山东高考)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连结点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，
n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知得q＞0.
??x1＋x1q＝3，
由题意得?2
?x1q－x1q＝2.?
所以3q－5q－2＝0.
因为q＞0，所以q＝2，x1＝1， 因此数列{xn}的通项公式为xn＝2
n－1
2
.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2－2
nn－1
＝2
n－1
，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意得bn＝
n＋n＋
2
×2n－1
＝(2n＋1)×2
n－2
，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2
0
1
2
－1
0
1
n－3
＋(2n＋1)×2
n－2
n－2
.①
n－1
又2Tn＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2①－②得
－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋23
＝＋2所以Tn＝
－21－2
n－1－1
2
＋(2n＋1)×2.②
n－1
)－(2n＋1)×2
n－1
n－1
－(2n＋1)×2
n.
n－
2
＋1. *
2．(2018·泰州调研)对于数列{xn}，若对任意n∈N，都有xn＋xn＋2
2
＜xn＋1成立，则称数
列{xn}为“减差数列”．设数列{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a1＝1，
S3＝.
(1)求数列{an}的通项公式，并判断数列{Sn}是否为“减差数列”；
(2)设bn＝(2－nan)t＋an，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．
解：(1)设数列{an}的公比为q， 7
因为a1＝1，S3＝，
472
所以1＋q＋q＝，
4即4q＋4q－3＝0， 所以(2q－1)(2q＋3)＝0. 1
因为q＞0，所以q＝，
2
11－n211
所以an＝n－1，Sn＝＝2－n－1，
212
1－2所以2
74
Sn＋Sn＋2
2111
＝2－n－n＋2＜2－n＝Sn＋1，
222
所以数列{Sn}是“减差数列”．
n?1tn－1?(2)由题设知，bn＝?2－n－1?t＋n－1＝2t－n－1. 2?2?2
由
bn＋bn＋2
22
＜bn＋1(n≥3，n∈N)， ＋t－
*
得t－即
tn－1
ntn＋
2
n＋2
－1t＜2t－
n＋
2
n－1，
tn－1tn＋
2
n＋2
n＋2
－1tn＋＞n2
－1，
化简得t(n－2)＞1.
又当n≥3时，t(n－2)＞1恒成立， 即t＞
1
恒成立， n－2
所以t＞?
?1?＝1.
?max
?n－2?
故实数t的取值范围是(1，＋∞)．
3．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上．
*
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
3
anan＋1
，试求数列{bn}的前n项和Tn.
2
解：(1)设二次函数f(x)＝ax＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上， 所以Sn＝3n－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2n)－[3(n－1)－2(n－1)]＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2×1＝1＝6×1－5， 所以an＝6n－5(n∈N)． (2)由(1)得bn＝
3
*
2
2
2
2
*
2
anan＋1
＝3
n－n＋
－5]
1?1?1－＝??，
2?6n－56n＋1?
1?11?11?111?3n故Tn＝1－＋?－?＋…＋－＝?1－＝. ?27?713?6n－56n＋12?6n＋1?6n＋1二、重点选做题
1．(2017·北京高考)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，
bn－ann}(n＝1,2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的
数．
(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；
(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．
解：(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0，
cnnc2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，
c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2,5－3×3}＝－2.
当n≥3时，
(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0， 所以bk－nak关于k∈N单调递减．
所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n. 所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差数列．
*