内容发布更新时间 : 2024/5/3 14:30:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初中数学 二次根式及其有意义的条件 编稿老师 徐文涛 一校 概念 杨雪 二校 黄楠 审核 隋冬梅 【考点精讲】 二次根式 表示方法 1. 二次根式：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，其中“次根号，“a”叫做被开方数。 2. 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0； 当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0。 这就是说，a（a≥0）是一个非负数。 有意义的条件 ”称为二【典例精析】 例题1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10，x2?3，315，?，?5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 思路导航：315的根指数为3；?5的被开方数是负数，所以不是二次根式；10，x2?3，?符合二次根式的条件，所以是二次根式的有3个。 答案：C 点评：二次根式必须满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。

例题2 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

2（1）(x?3)；（2）4?3x；（3）

1 x?1思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。

答案：解：（1）因为（x－3）2≥0，所以无论x取任何实数，(x?3)都有意义；

2

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4时，4?3x有意义； 311（3）若有意义，则必有x－1＞0，即当x＞1时，有意义。

x?1x?1（2）若4?3x有意义，则必有4－3x≥0，即当x≤

点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。

x2?4?4?x2?1例题3 已知x、y为实数，y=，试求3x+4y的值。 x?2思路导航：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值。 2??x?4?0答案：解：依题意得?，所以x2=4，所以x=±2，又因为x－2是原式分母，2??4?x?011所以x－2≠0，所以x≠2，所以x=－2，此时，y=－，所以3x+4y=3×（－2）+4×（－）44=－7。 点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。 【总结提升】 1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号，如3，9，0.01。 （2）“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，例如25写作5，而35不是二次根式，所以35不能写作5。 2. 需要掌握三个具有非负性的式子：①a2≥0；②|a|≥0；③a≥0（a≥0）。 例如：x?1+（y－1）2+|z|=0，x?1=0，（y－1）2=0，|z|=0，则x=－1，y=1，z=0。 ，就可以把一个非负数写成?a?（a≥0）一个数的平方的形式。例如：3??3?，a?b??a?b?。（a－b≥0） 这一公式常用在因式分解中，如：a?5?a??5??(a?5)(a?5)。 3. 如果将公式2?a??a（a≥0）逆用，即a?222222 （答题时间：20分钟）

1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. －7 B. 2. 要使

37 C. x D. x

a是二次根式，则应满足的条件是（ ） b

B. a≥0且b＞0

A. a≥0且b≥0

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aa＞0 D. ≥0且b≠0 bb13. 函数y?中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）

x?2C. A. C.

B. D.

4. 使式子?(x?5)2有意义的未知数x有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 5. 已知12?a是正整数，则实数a的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 3 6. 若m?2n?1?1?2n?2，则ｍ=_______，ｎ＝ 。 17. 要使3?x?有意义，则x应满足________。 2x?18. 如果49a的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a=____。 9. x取什么实数时，下列各式有意义？ （1）3?4x； 2(x?3)（3）； （2）3x?2； （4）3x?4?24?3x 10. 已知a、b、c为实数，且a?3??b?2??c?1?0，求a、b、c的值。

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