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【金版学案】2015-2016高中数学 第四章 圆与方程章末知识整合
新人教A版必修2
专题一 圆的方程
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圆的方程有两种形式：圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r，明确了圆心和半径，圆的
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一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)体现了圆的二元二次方程的特点，在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法．
已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程．
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解析：解法一 设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
－D＋5E＋F＋26＝0，??
由题意可得?－2D－2E＋F＋8＝0，
??5D＋5E＋F＋50＝0，
D＝－4，??
解得?E＝－2，
??F＝－20.
故圆的方程为x＋y－4x－2y－20＝0.
解法二 由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，
???x＝2，?x＝2，?由解得?∴圆心P的坐标为(2，1)． ?x＋y－3＝0?y＝1.??
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圆半径r＝|AP|＝（2＋1）＋（1－5）＝5.
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∴圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝25，
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即x＋y－4x－2y－20＝0. ?跟踪训练
1．求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程． 解析：解法一：∵圆心在y轴上，
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设圆的标准方程是x＋(y－b)＝r. ∵该圆经过A、B两点，
??（－1）＋（4－b）＝r，∴?2 22
?3＋（2－b）＝r，???b＝1，∴?2 ?r＝10.?
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所以圆的方程是x＋(y－1)＝10. 解法二：线段AB的中点为(1，3)，
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kAB＝
2－41
＝－，
3－（－1）2
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)， 即y＝2x＋1.
??y＝2x＋1，由?得(0，1)为所求圆的圆心． ?x＝0，?
由两点间距离公式得圆半径r为
（0＋1）＋（1－4）＝10，
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∴所求圆的方程为x＋(y－1)＝10.
2．已知△ABC三边所在直线的方程为AB：x＋2y＋2＝0，BC：2x－y－6＝0，CA：x－2y＋6＝0，求△ABC的外接圆的方程．
解析：由题先求出△ABC的三个顶点．
??x＋2y＋2＝0，由?得B(2，－2)， ?2x－y－6＝0，???2x－y－6＝0，由?得C(6，6)， ??x－2y＋6＝0，??x＋2y＋2＝0，由?得A(－4，1)， ?x－2y＋6＝0，?
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又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为
(x－a)＋(y－b)＝r.
（2－a）＋（－2－b）＝r，??222
解方程组?（6－a）＋（6－b）＝r，
??（－4－a）2＋（1－b）2＝r2，71252
得a＝1，b＝，r＝.
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∴所求外接圆方程为(x－1)＋?y－?＝.
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专题二 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一，主要有： 1．直线与圆的三种位置关系． (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点．
2．直线与圆位置关系的两种判定方法．
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切，若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当d
3．求弦长．
直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径r，则有()＋d＝r.即半弦
2长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解．
代数法：|AB|＝1＋k|x1－x2|(k是AB的斜率，x1，x2是两交点横坐标)． 4．圆的切线．
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(1)过圆x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r. (2)圆的切线方程的求法．
①求过圆C外一点P(x0，y0)和圆C相切的切线方程． 几何法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为x＝x0.
代数法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，与圆方程联立，消元，由Δ＝0求出k，讨论方法同上．
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②过圆(x－a)＋(y－b)＝r上一点P(x0，y0)求圆的切线方程．
圆心C(a，b)，k＝－
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kPC，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，如果kPC不存在，则k＝0，
如果kPC＝0，则切线方程为x＝x0.
解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法．
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例2 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)＋(y－1)＝4和圆C2：(x－4)
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＋(y－5)＝4.