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第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2讲
A组 基础关
1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28 答案 C
解析 分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C2C7＋C2C7＝49.
2．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为( )
A．72 B．324 C．648 D．1296 答案 D
解析 核潜艇排列数为A2，6艘舰艇任意排列的排列数为A6，同侧均是同种舰艇的排列数为A3A3×2，则舰艇分配方案的方法数为A2(A6－A3A3×2)＝1296.
3．(2018·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A．A5种 C．A4A2种 答案 D
解析 由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色、黄色菊花，故有C2C2A2A2种摆放方法．
4．(2018·石家庄模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168 答案 B
解析 解法一：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“ ，小品1，歌舞1，小品2， ，相声， ”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“ ，小品1， ，相声， ，小品2， ”．有A2A4＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A3·A4＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A3·A2·A2＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
5．有6个座位连成一排，现有A，B，C，D，E，F共6人就坐，则B，C中至少有1人
3
2
2
3
3
23
212
1122
22533
2
6
33
2
6
12
21
B．A2种 D．C2C2A2A2种
1122
2
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与A相邻而坐的不同坐法有( )
A．192种 B．336种 C．384种 D．432种 答案 B
解析 若A坐在第1或第6个位置，则有2C2A4＝96种不同的坐法；若A在第2、3、4、5号位置时，则有A6－2A5－4A3A3＝336种不同的坐法，其中，2A5是A在两侧的坐法，4A3A3是
6
5
23
5
23
14
A在2、3、4、5号位置且和B，C都不相邻的坐法；综上所述，共有336＋96＝432种不同
的坐法．
6．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
C12C9C643334
A.3A4种 B．C12C9C6·3种
A3C12C9C633333
C.4·4种 D．C12C9C6·4种
A4答案 B
C12C9C6C12C9C64
解析 要从12个人中选3人为一组，所以有4种，每个组选一名组长，故有4·3A4A4
种，每个组还要研究一个课题，并且只能研究一个课题，所以相当于四个组排列选课题，故C12C9C6443334
有4A4·3＝C12C9C6·3种．
A4
7．(2019·湖南衡阳质检)现要给一长、宽、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案有( )
A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 答案 C
解析 若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面，每一种颜色只能涂相对的面，故有C2C2A3＝24(种)；若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色，红色只能涂相对的面，还有4个面，故有2×(A3＋C3C2)·C3＝72(种)，根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96(种)．故选C.
8．(2018·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
答案 60
解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖，)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C3种分法，再分给4人有C3A4种分法，所以不同获奖情况种数为A4＋C3A4＝24＋36＝60.
9．在“心连心”活动中，五名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访，每个村子至少安排一名党员参加，且A，B两名党员必须在同一个村子的不同分配方法种数为________．
答案 36
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4
22
2
22
4
3
11
1
113
3
33
3
33
3
33
3
333
33
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解析 把A，B两名党员看作一个整体，5个人就可看成4个部分，把其中2个部分合并，共有C4种方法，再把这三部分分配到三个村子，有A3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同分配方法种数为C4×A3＝36种．
10．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
答案 1260
解析 若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C5C3A4；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C5C3C3A3.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C5C3A4＋C5C3C3A3＝720＋540＝1260.
B组 能力关
1．(2018·长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( ) A．72 B．144 C．240 D．288 答案 D
解析 第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有C3A2＝6种排法．第二步，假设剩下的两对夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三种情况讨论：
①x1，x2中间有一个元素，如果是A，则y1，y2在两端，有2种排法，如果是y1，y2中的一个，有12种排法；
②x1，x2中间有两个元素，只能是A和y1，y2中的一个，总共有8种排法； ③x1，x2中间有三个元素，有2种排法．
因为x1，x2有顺序，所以仅有一对夫妻相邻的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(种)． 2．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )
A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 答案 A
解析 根据题意，分两步进行分析：①将《将进酒》《望岳》和另两首诗词共4首诗词A4
全排列，有A＝24(种)顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有
2
44
4
12
224
2113
2113
224
2
3
2
3
＝12(种)；
②这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A4＝12(种)安排方法，由分步乘法计数原理，知后六场的排法有12×12＝144(种)．故选A.
3．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，男员工丙必须被选且安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有( )
A．960种 C．1080种
B．984种 D．1440种
2
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