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2019届高考数学一轮复习 5.4数列通项的求法练习 理
基础回顾Ｋ
数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等．因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点．在近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大．为了帮助考生突破这一难点，现将求数列通项的思想方法归纳如下：①化归与转化思想；②换元思想；③方程思想．
基础自测
1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(C) A．8 B．10 C．12 D．14
解析：S3＝3a2＝12，故a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2，故a6＝a1＋5d＝12，故选C.
1
2an，0≤an<，
26
2．若数列{an}满足an＋1＝ 若a1＝，则a2 013的值为(C)
71
2an－1，≤an<1，
2
?????
6531
A. B. C. D. 7777
1653解析：∵≤a1＝<1，∴a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝.
2777316
∵a3＝<，∴a4＝2a3＝＝a1，a5＝a2，….
727
3∴数列{an}每隔3项重复出现，即是以3为周期的周期数列．∴a2 013＝a671×3＝a3＝.故
7选C.
n
3．(2013·江苏南京四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2＋n－1，则a1＋a3＝7．
1
解析：a1＝S1＝2＋1－1＝2，a3＝S3－S2＝8＋3－1－(4＋2－1)＝5，∴a1＋a3＝7.
*
4．已知数列{an}中，满足a1＝6，an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N)，则数列{an}的通项公式为
n－1*
an＝7·2－1(n∈N)．
an＋1＋1
解析：∵an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2(常数)，∴{an＋1}是以7为首项，2为公比的
an＋1等比数列，∴an＋1＝7·2
n－1
，∴an＝7·2
n－1
－1(n∈N)．
*
高考方向
1.主要考查简单数列的通项公式的求解、数列的前n项和与通项的关系、简单的递推数列问题.
2.三种题型都有可能出现，试题难度中等.
品味高考
1．(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝8时，{an}的前n项和最大．
解析：利用等差数列的性质求解．因为{an}是等差数列，所以a7＋a8＋a9＝3a8＞0，a7＋a10＝a8＋a9＜0，即该等差数列的前8项是正数，从第9项开始为负数，所以(Sn)max＝S8.
2*
2．(2014·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn.满足Sn＝2nan＋1－3n－4n，n∈N，且S3
＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20， 又S3＝15，∴a3＝7. ∴S2＝4a3－20＝8，
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 综上知a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，结论显然成立；
②假设当n＝k(k≥1)时，结论成立，即ak＝2k＋1，则
3＋（2k＋1）
Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝×k＝k(k＋2)，
2又Sk＝2kak＋1－3k－4k，
2
∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k－4k，解得2ak＋1＝4k＋6， ∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．
*
由①②知，?n∈N，an＝2n＋1.
高考测验
1．设数列{an}满足：an＋1＝
1＋an
，a2 011＝2，那么a1等于(A) 1－an
2
11
A．－ B．2 C. D．－3
23
1＋anan＋1－11解析：由an＋1＝，得an＝，因为a2 011＝2，所以依次解得a2 010＝，a2 009＝－
1－anan＋1＋13
111
，a2 008＝－3，a2 007＝2，a2 006＝，a2 005＝－，…，所以{an}是周期数列，周期为4，所以a2 232
005
1
＝a2 004＋1＝a1＝－.故选A.
2
*
2．在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为2k. (1)证明：a4，a5，a6成等比数列． (2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由题设可知，a2＝a1＋2＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋4＝8，a5＝a4＋4＝12，a6
＝a5＋6＝18.
a6a53
从而＝＝，所以a4，a5，a6成等比数列．
a5a42
(2)解析：由题设可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N.
所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝
*
2k(k＋1)，k∈N.
由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，
2
从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k.
2
n－1
，n为奇数，2n2n（－1）－1*
所以数列{an}的通项公式为an＝2或写为an＝＋，n∈N.
24n
，n为偶数，2
*
?????
课时作业
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N)，则a5＝(B)
A．－16 B．16 C．31 D．32
解析：由已知可得a1＝1，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以{an}
4
是等比数列，公比为2，所以a5＝a1·2＝16.故选B.
n
2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则an等于(A)
nn＋1
A．2－1 B．2－3
n－1n－1
C．2 D．2－1
nn－1
解析：因为an＋1＝an＋2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2＋2
n－2
*
1×（1－2）n
＋…＋2＋2＋1＝＝2－1.故选A.
1－2
2
1
n
3．在数列{an}中，若an＋1＝an
，a1＝1，则a6＝(D) 2an＋1
11
A．13 B. C．11 D.
1311解析：
2an＋111＝，－＝2， an＋1anan＋1an1
11
－＝2，① a2a1
11
－＝2，② a3a2