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辅导23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧

电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：

类型一：单杆+电阻+导轨模型类

【初建模型】

【例题1】(2017·淮安模拟)如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：

(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 【思路点拨】：

2mgRsin θ1【答案】：(1)gsin θ，方向沿导轨平面向下；B2L2，方向沿导轨平面向下；(2)2mgxsinθm3g2R2sin2θ－B4L4 【解析】：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv

E

回路中的感应电流I＝

R＋R杆所受的安培力F＝BIL

B2L2v

根据牛顿第二定律有mgsinθ－2R＝ma

当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsin θ，方向沿导轨平面向下

2mgRsin θ

当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度vm＝，方向沿导轨平面向下。

B2L21

(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsinθ＝Q总＋2mvm2

11m3g2R2sin2 θ

又Q杆＝2Q总，所以Q杆＝2mgxsin θ－。

B4L4- 1 -

【内化模型】

单杆+电阻+导轨四种题型剖析 题型一(v0≠0) 杆cd以一定初速度v0在光滑水平说明 题型二(v0＝0) 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电倾斜轨道光滑，倾角两导轨间距为L 竖直轨道光滑，两导轨间距为L 题型三(v0＝0) 题型四(v0＝0) 轨道上滑动，质量阻不计，两导轨间为α，杆cd质量为m，杆cd质量为m，为m，电阻不计，距为L，拉力F恒两导轨间距为L 定 示意图 杆以速度v切割磁感线产生感应电 F开始时a＝m，杆 开始时a＝g，杆cd速度v↑?感应电动势E＝BLv↑?I↑?安培力F安＝BIL↑，由开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑?感应电动势E＝BLv↑?I↑?安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma力学观点 动势E＝BLv，电cd速度v↑?感应BLv电动势E＝流I＝R，安培力BLv↑?I↑?安培力B2L2vF＝BIL＝R。杆F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，做减速运动：v↓?F↓?a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止 当a＝0时，v最FR大，vm＝B2L2 mg－F安＝ma知知a↓，当a＝0时，va↓，当a＝0时，mgRsin α最大，vm＝B2L2 mgRv最大，vm＝B2L2 图像观点 F做的功一部分能量观点 动能全部转化为1内能：Q＝mv02 2 重力做的功(或减少 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转转化为杆的动能，的重力势能)一部分一部分转化为内转化为杆的动能，一1能：WF＝Q＋2mvm2 部分转化为内能：WG化为内能：WG＝1＝Q＋2mvm2 1Q＋2mvm2 【应用模型】 【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平面向上的恒定外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求cd的最大加速度和最大速度。

【答案】：见解析

【解析】：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、

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摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：F－mgsinθ－F安－f＝ma

EBLvB2L2v

又F安＝BIL，I＝＝，所以F安＝BIL＝ R＋RR＋RR＋R

f＝μN＝μmgcosθ B2L2v

故F－mgsinθ－－μmgcosθ＝ma

R＋R

F

当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度am＝m－gsinθ－μgcosθ，方向沿导轨平面向上

当杆的加速度a＝0时，速度最大，vm＝

(F?mgsin???mgcos?)?2R。

B2L2类型二：单杆+电容器(或电源)+导轨模型类

【初建模型】

【例题2】(2017·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道而上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

【思路点拨】：

(1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势→产生感应电流→求出回路的电能。

(2)闭合开关S→导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压→棒中没有电流→由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。

(3)导体棒在外力作用下运动→回路中形成充电电流→导体棒还受安培力的作用→由牛顿第二定律列式分析。

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