内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:37:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
解:(1)∵PA是⊙O的切线,∴∠BAP=90°-∠1=70°.又∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,∴∠BAP=∠ABP=70°,∴∠APB=180°-70°×2=40° (2)当∠1=30°时,OP=OD.理由:当∠1=30°时,由(1)知∠BAP=∠ABP=60°,∴∠APB=180°-60°
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×2=60°.∵PA,PB是⊙O的切线,∴∠OPB=∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1=
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60°-30°=30°,∴∠OPB=∠D,∴OP=OD
16.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
解:(1)连接OE,∵AM,DE是⊙O的切线,OA,OE是⊙O的半径,∴∠ADO=∠EDO,
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∠DAO=∠DEO=90°,∴∠AOD=∠EOD=∠AOE.∵∠ABE=∠OEB,∠ABE+∠OEB
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=∠AOE,∴∠ABE=∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,∴OD∥BE
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(2)OF=CD,理由:连接OC,∵BC,CE是⊙O的切线,∴∠OCB=∠OCE.同理:
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∠ADO=∠EDO.∵AM∥BN,∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,∴∠EDO+
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∠OCE=90°,∴∠DOC=90°.在Rt△DOC中,∵F是DC的中点,∴OF=CD
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专题训练(七) 切线证明的方法
一、有交点,连半径,证垂直 (一)利用角度转换证垂直
1.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥OB,交AB于E,且AD=ED.求证:AD是⊙O的切线.
解:连接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB.又∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,而∠DEA=∠BEO,∠B+∠BEO=90°,∴∠DAE+∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O 的切线
2.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证:PA是⊙O的切线.
解:连接OA.∵∠B=60°,∴∠AOC=120°,∴∠AOP=60°,∵OA=OC,∴∠
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OAC=∠ACP=∠AOP=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠PAO=90°,
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∴OA⊥AP,∴PA是⊙O的切线
(二)利用全等证垂直
3.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC,弦AD∥OC.求证:CD是⊙O的切线.
解:连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO,得∠CDO=∠CBO=90°,∴CD⊥OD,∴CD是⊙O的切线
(三)利用勾股定理逆定理证垂直
4.如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上一点,点C为⊙O上一点,PC=8,PB=4,AB=12.求证:PC是⊙O的切线.
解:连接OC.根据题意,可得OC=6,PO=10,PC=8,∴OC2+PC2=PO2,∴△POC为直角三角形且∠PCO=90°,∴OC⊥CP,∴PC是⊙O的切线
二、无交点,作垂直,证半径
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证:AC与⊙D相切.
解:连接DE,过D作DF⊥AC于F,易证△BDE≌△CDF,∴DF=DE,∴AC与⊙O相切
6.如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线.
解:连接OE,过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E,∴OE⊥AB,∵AB=CD,∴OE=OF,∴CD与小⊙O相切
7.如图,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径R.
解:(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A,∴OA⊥AD,又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA,∴CD是⊙O的切线 (2)过D点作DF⊥BC于点F,易证四边形ABFD是矩形,∴AD=BF,AB=DF,又∵AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5.又∵AM,BN,CD分别切⊙O于点A,B,E,∴DA=DE,CB=CE,∴DC=AD+BC=4+9=13.在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴DF=12,∴AB=12,∴⊙O的半径R是6
三、与切线证明方法有关的综合问题 8.(2014·江西)如图①,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是⊙O上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)求△OPC的最大面积; (2)求∠OCP的最大度数;
(3)如图②,延长PO交⊙O于点D,连接DB,当CP=DB 时,求证:CP是⊙O的切线.
解:(1)△OPC的边长OC是定值,∴当OP⊥OC时,OC边上的高为最大值,此时△
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OPC的面积最大.∵AB=4,BC=2,∴OP=OB=2,OC=OB+BC=4,∴S△OPC=·OC·OP
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=×4×2=4,即△OPC的最大面积为4 (2)当PC与⊙O相切,即OP⊥PC时,∠OCP2
的度数最大,可求∠OCP=30°
(3)连接AP,BP.∵∠AOP=∠DOB,∴AP=DB.∵CP=DB,∴AP=PC,∴∠A=∠C.∵∠A=∠D,∴∠C=∠D.∵OC=PD=4,PC=DB,∴△OPC≌△PBD,∴∠OPC=∠PBD.∵PD是⊙O的直径,∴∠PBD=90°,∴∠OPC=90°,∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径,∴CP是⊙O的切线