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2019年编·人教版高中数学

第一章 导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1． 理解平均变化率的概念；

2．

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r 3? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V 4?分析: r(V)?33V， 4?h ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) 气球的平均膨胀率为

r(1)?r(0)?0.62(dm/L)

1?0⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r(2)?r(1)?0.16(dm/L)

2?1ot 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

r(V2)?r(V1)

V2?V1问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v

h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)；

0.5?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v???8.2(m/s)

2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0?t?0.5这段时间里，v?⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)， 4965)?h(0)49?0(s/m)， 所以v?65?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运

49h(动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子 变化率

2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 3． 则平均变化率为

f(x2)?f(x1)表示,

x2?x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???

x2?x1?x?x?x思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率

f(x2)?f(x1)?f?表示什么?

x2?x1?xy y=f(x)

直线AB的斜率

三．典例分析

2f(x2) △y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x 例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则

?y? ． ?x2解：?2??y??(?1??x)?(?1??x)，

?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x2例2． 求y?x在x?x0附近的平均变化率。

?y(x0??x)2?x0?解：?y?(x0??x)?x0，所以 ?x?x222x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x

?x2 所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x

22四．课堂练习

1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 25?3?t3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

2