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哈师大附中２０１４ 级高一下学期期末专试

６ ．已知 犿 ，狀 是两条不重合的直线，α 、γ 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： β 、犿 ⊥ β ，则α ∥ β ； ① 若 犿 ⊥ α ，② 若α ⊥ γ ，β ⊥ γ ，则α ∥ β ； 狀 β ，犿 ∥ 狀 ，则α ∥ β ； ③ 若 犿 α ，） 其中真命题是（ Ａ ．① 和③ Ｂ ．① 和④ 犿 ，狀 是异面直线，犿 α ，犿 ∥ β ，狀 β ，狀 ∥ α ，则α ∥ β ． ④ 若 Ｃ ．③ 和④ Ｄ ．① 和②

数 学 试 卷（理）

７ ．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为２ ，这个球的表面积为６π ，则这个正四棱柱的体积 为（ ）

本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共１５０ 分，考试时间１２０ 分钟。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交囚。 注意事项１：

条 形 码 区 域

．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在。 ２ ．选择题必须使用２ Ｂ 铅笔填涂；非选择题必须使用 ０ ．５ 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 ３ ．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。

４ ．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

５ ．保持卡面清沽，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ 卷（选择题 共６０ 分）

一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的．）

．已知 狓 － １ 犃 ＝ ｛狓 ｜狓 － ２｜ ＜ ２ ｝，狓 ＜ ０ ，则 犃 ∩ 犅 ＝ （犅 ＝

狓 － ５

） Ａ ．（０ ，４ ） Ｂ ．（０ ，５ ） Ｃ ．（１ ，４ ） Ｄ ．（１ ，５ ）

２ ．如果犪 ＞ ０ ＞ 犫 且犪 ＋ 犫 ＞ ０ ，那么以下不等式正确的个数是（ ）

① 犪 ２ ＞ 犫 ２ ② １ ＞ １ ③ 犪 ３ ＜ 犪犫 ２ 犪 犫

④ 犪 ２犫 ＜ 犫 ３

Ａ ．１ Ｂ ．２ Ｃ ．３ Ｄ ．４ ３ ．在等比数列｛犪 狀 ｝中，若犪 １犪 ２犪 ３ ＝ ２ ，犪 ２犪 ３犪 ４ ＝ １６ ，则公比狇 ＝ （ ） Ａ ．１ Ｂ ．２ Ｃ ．２ 槡２ Ｄ ．８

２

４ ．设 犇 为△ 犃 犅 犆 所在平面内一点，犅 →犆 ＝ ３ 犆 →犇 ，则（ ）

Ａ ．犃 →犇 ＝ － １ 犃 →犅 ＋ ４ 犃 →犆 Ｂ ．犃 →犇 ＝ １ 犃 →犅 － ４ 犃 →犆

３ ３ ３ ３ Ｃ ．犃 →犇 ＝ ４ 犃 →犅 ＋ １ 犃 →Ｄ ．犃 →犇 ＝ ４ １ 犆 犃 →犅 － 犃 →犆

３ ３ ３ ３

５ ．已知向量犪 、犫 满足｜犪 ｜ ＝ １ ，｜犫 ｜ ＝ ６ 犪， · （犫 － 犪 ）＝ ２ ，则犪 与犫 的夹角为（ ） Ａ ．１ Ｂ ．２ Ｃ ．３ Ｄ ．４

８ ．设向量犪 ＝ （槡３ ｓｉｎθ ＋ ｃｏｓθ ＋ １ １， ），犫 ＝ （１ ，１ ），犿 是犪 在犫 方向上的技影，则 犿 的最大值是（ ） ３ 槡 ２ Ａ ．

２

Ｂ ．４ Ｃ ．２ 槡２ Ｄ ．３

９ ．犛 狀 为等差数列｛犪 ｝的前狀 项和犛， ５ ＞ 犛 犛， ６ ＝ 犛 ，犛 ７ ＜ 犛 ，以下结论中正确的是（ ）

狀

６

７

８

Ａ ．公差

犱 ＜ ０ Ｂ ．犪 ７ ＝ ０

Ｃ ．犛 ９ ＞ 犛 ４ Ｄ ．存在唯一的狀 ∈ 犖 使 犛 狀 最小

１０ ．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

Ａ ．１ ＋ 槡３ Ｂ ．２ ＋ 槡３ Ｃ ．１ ＋ ２ 槡２ Ｄ ．２ 槡２

１１ ．数列｛犪 狀 ｝满足 犪 １１ ＝ ２ ，犪 狀＋ １ ＝ １ － 犪 ， 若 数 列 ｛犪 狀 ｝ 的 前 狀 项 和 为犛 狀 ， 则

狀

犛 ２０１５ ＝ （ ）

Ａ ．２０１５ Ｂ ．－ １ Ｃ ．２ ０ １ ５

２

Ｄ ．１ ２

１２ ．在等腰梯形 犃 犅 犆 犇 中，已知 犃 犅 ∥ 犇 犆 ，犃 犅 ＝ ２ ，犅 犆 ＝ １ ，∠ 犃 犅 犆 ＝ ６０° ，动 点 犈 和 犉 分 别 在线 段 １ →犅 犆 和犇 犆 上犅 →，犈且 ＝ λ 犅 →犆 ，犇 → 犉 ＝ 犇犆 ，则犃 →犈 · 犃 →犉 的最小值为（ ）

９λ

３ ４ Ａ ．２

Ｂ ．Ｃ ．２９

Ｄ ．５ １８

３

第Ⅱ 卷（非选择题 共９０ 分）

二、填空题（本题共４ 小题，每小题５ 分．） １３ ．已知在正方体 犃 犅 犆 犇 — １ 犅 １ 犆 １ １ 中，犈 为１ 犇 的中点，则异面直线 犃 犈 与犅 犆 所成角的余犃

犇

犆

１

弦值

为 ．

已知等比数列｛犪 狀 ｝中，犪 ３

，犪 ４犪 ６

，则犪 １０ － 犪 １的值为 ．

２

１４ ．

＝６

２ ＝ １犪 ６ － 犪 ８

正四面体 的棱长为 ，犌 是△ 犃 犅 犆 的中心，犕 在线段 犇 犌 上犃° ，则 犌 犕 １５ ．

犃 犅 犆 犇 １ ，且

的 ∠

犕 犅 ＝ ９０

１

长为 ．

πＡ ． ２ πＢ ．

３ πＣ ． ４ πＤ ．

６

１ １６ ．已知狓 ＞ ０ ，＋ ＝ １ ，则２狓 ＋ 狔 ＞ ０ ，且满足 狔 的最小值为 ２ 狓 狔

理科数学第２ 页（共４ 页）

．

理科数学第１ 页（共４ 页）

三、解答题（本题共７０ 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） １７ ．（本小题满分１２ 分）

２０ ．（本小题满分１２ 分）

如图，在四棱柱 犃 犅 犆 犇 － 犃 １ 犅 １ 犆 １ 犇 １ 中，侧棱 犃 １ 犃 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇 ，犃 犅 ⊥ 犃 犆 ，犃 犅 ＝ １ ，犃 犆 ＝ 犃 犃 １ ＝ ２ ， △ 犃 犅 犆 中内角 犃 、犅 、犆 的对边分别为犪 、犫 、犮 ，犿 ＝ （２ｓｉｎ犅 ，－ ３ 槡）， 狀 ＝ （ｃｏｓ２犅 ，２ｃｏｓ２ 犅 ２ － １ ），且 犿 ∥ 狀 ． （Ⅰ ）求锐角 犅 的大小；

（ Ⅱ ）如果犫 ＝ ２ ，求△ 犃 犅 犆 的面积犛 的最大值．

１８ ．（本小题满分１２ 分）

如图，三棱锥 犘 － 犃 犅 犆 中，犘 犆 ⊥ 平面 犃 犅 犆 ，犘 犆 ＝ ３ ，∠ 犃 犆 ．犇 ，犈 分别为线段 犃 犅 ，犅 ＝ π犅 犆 上

２ 的 点，且 犆 犇 ＝ 犇 犈 ＝ 槡２ ，犆 犈 ＝ ２ 犈 犅 ＝ ２ ． （Ⅰ ）证明：犇 犈 ⊥ 平面 犘 犆 犇 ； （Ⅱ ）求二面角 犃 － 犘 犇 － 犆 的余弦值．

１９ ．（本小题满分１２ 分）

在△ 犃 犅 犆 中，２ｓｉｎ２ 犆 · ｃｏｓ犆 － ｓｉｎ３ 犆 ＝ 槡３ （１ － ｃｏｓ犆 ）． （Ⅰ ）求角 犆 的大小；

（Ⅱ ）若 犃 犅 ＝ ２ ，且ｓｉｎ犆 ＋ ｓｉｎ （犅 － 犃 ）＝ ２ｓｉｎ２ 犃 ，求△ 犃 犅 犆 的面积．

理科数学第３ 页（共４ 页） 犃 犇 ＝ 犆 犇 ＝ 槡５ ，且点 犕 、犖 分别为 犅 １ 犆 、犇 １ 犇 的中点． （Ⅰ ）求证：犕 犖 ∥ 平面 犃 犅 犆 犇 ； （Ⅱ ）求三棱锥 犖 — 犃 犃 １ 犆 的体积；

（Ⅲ ）设犈 为棱 犃 １ 犅 １ 上的点，若直线 犖 犈 和平面 犃 犅 犆 犇 所成角的正弦值１ ，求线段 为

犃 １ 犈 的长． ３

２１ ．（本小题满分１２ 分）

已知数列 ｛犪 狀 ｝中，犪 １ ＝ １ ，且（１ － 犪 狀 ＋ １ ）（１ ＋ 犪 狀 ）＝ １ ．

（Ⅰ ）证明： １

犪 为等差数列； １狀

｝狀

（Ⅱ ）设犫 狀 ＝ （ ） · １２ 的前犪 狀 项和为犜 狀 ，求 犜 狀 ； 狀

（ 时，２ｌｎ （狓 ＋ １ ）＋ ２

犪 狀 ＋ １ Ⅲ ）已知当狓 ＞ ０狓

狓 ＋ １ ＜ ２狓 ，若数列｛犪 狀 ｝的前狀 项和为犛 狀 ，求证：犛 狀 ＞ ２犪 － ｌｎ犪 狀 ＋ １ ． 狀

请考生在第２２ 、２３ 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．２２ ．（本小题满分１０ 分）

已知函数犳 （狓 ）＝ 狓 ＋ １ － ２ 狓 － 犪 ． （Ⅰ ）当犪 ＝ １ 时，求不等式犳 （狓 ）＞ １ 的解集；

（Ⅱ ）若犳 （狓 ）≤ ２狓 － １ 对一切狓 ∈ 犚 恒成立，求犪 的取值范围．

２３ ．（本小题满分１０ 分）

（Ⅰ ）已知０ ≤ 狋 ≤ ４ ，求证： 槡 － ３狋 ＋ １２ ＋ 槡狋 ≤ ４ ；（Ⅱ ）已知犪 犫， 犮， 都是正数，求证犪： 犫

＋ 犫 ２犮 ＋ 犮 ２犪 犪犫犮 ．

２

２

犪 ＋ 犫 ＋ 犮 ≥

理科数学第４ 页（共４ 页）