内容发布更新时间 : 2024/6/3 21:48:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

共轭梯度法及其基本性质

预备知识

定义1 设

是对称正定矩阵。称

是A-共轭的，是指

性质1 设有是彼此共轭的维向量，即

则一定是线性无关的。

［证明］若有一组数满足

则对一切一定有

注意到是线性无关的． 性质２ 设向量得出一组向量

，由此得出：即所有的＝０．因此，

是线性无关的向量组，则可通过它们的线性组合，而

是两两共轭的．

［证明］我们用构造法来证实上面的结论．

Ｓ０：取；

Ｓ１：令?? Ｓm：令

，取．

取

容易验证：符合性质２的要求．

性质３设从列

出发，逐次沿方向

，满足：

是两两Ａ－共轭的，

搜索求

是任意指定的向量，那么

的极小值，所得序

．

［证明］由下山算法可知，从出发，沿方向搜索，获得

从而

性质４设沿

是两两Ａ共轭的，则从任意指定的

搜索，所得序列

满足：

出发，依次

（１）

（２），其中是方程组(5.1.1)的解．

［证明］（１）是性质３的直接推论，显然成立． （２）由于以对于向量

可用

是两两Ａ共轭的，故

是线性无关的．所

使

线性表出，即存在一组数

由于及，得出

，

于是，再由得出

于是，与得出一样地，我们可以陆续得出：