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专题10 计数原理
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每
个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．
1 12 B．
1 14 C．
1 15 D．
1 18C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的
数有C10种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P?故选C．
2．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：
223有C4种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C4?A3?36种． 故选D．
231?，2C10153．从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上
的数奇偶性不同的概率是 A．
5475 B． C． D．1899 911C【解析】不放回的抽取2次有C9C8?9?8?72，如图
12，3，4，5，6，7，8，921，3，4，5，6，7，8，9
11可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有2C5C4=40，所求概率为
405?． 7284．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
B【解析】由题意可知E?F有6种走法，F?G有3种走法，由乘法计数原理知，共有6?3?18 种走法，故选B．
5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48 C．60 D．72
D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有A3 种方法，其
他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有A4种方法，所以其中奇数的个数为
4A1A34?72，故选D．
146．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有2?A4个；若万位上排5，则有3?A4个.
33所以共有2?A4?3?A4?5?24?120个，选B．
337．(2018全国卷Ⅲ)(x?)的展开式中x的系数为 A．10
r22x54B．20
25?r C．40 D．80
C【解析】Tr?1?C5(x)选C． 8．(1?2224rr10?3r，由10?3r?4，得r?2，所以x的系数为C5?2?40．故()r?C52xx126x展开式中的系数为 )(1?x)2x11262244x展开式中含的项为)(1?x)1?Cx??C6x?30x2，故x2前系数为30，选C． 622xxA．15 B．20 C．30 D．35 C【解析】(1?
9．(x?y)(2x?y)的展开式中xy的系数为
A．?80 B．?40 C．40 D．80
r5?rr5C【解析】(2x?y)的展开式的通项公式为：Tr?1?C5(2x)(?y)，
323533当r?3时，x(2x?y)展开式中xy的系数为C5?2?(?1)??40， 232533当r?2时，y(2x?y)展开式中xy的系数为C5?2?(?1)?80，
533
所以xy的系数为80?40?40．选C．
10． 设i为虚数单位，则(x?i)的展开式中含x的项为
A．－15x B．15x C．－20ix D．20ix
r6?rr24244A【解析】通项Tr?1?C6xi(r?0,1,2,???,6)，令r?2，得含x的项为C6xi??15x，故选A．
33644444
11．已知(1?x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A．212 B．211 C．210 D．29
37nD【解析】因为(1?x)的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn?Cn，解得n=10，
n所以二项式(1?x)的展开式中奇数项的二项式系数和为
10110?2?29． 2n12．二项式(x?1)(n?N?)的展开式中x2的系数为15，则n?
A．4 B．5 C．6 D．7
nn122nn2C【解析】由(x?1)?(1?x)?1?Cnx?Cnx?????Cnx，知Cn?15，
∴
n(n?1)?15，解得n?6或n??5(舍去)，故选C． 23a5)的展开式中含x2的项的系数为30，则a? 13．已知(x?xA．3 B．?3 C．6 D．－6 D【解析】Tr?1?C(?1)ax64r5rr5?r2，令r?1，可得?5a?30?a??6，故选D．
mn14．在(1?x)(1?y)的展开式中，记xy项的系数为f(m,n)，
则f(3,0)?f(2,1)?f(1,2)?f(0,3)=
A．45 B．60 C．120 D． 210
21123003C【解析】由题意知f(3,0)?C6C4，f(2,1)?C6C4，f(1,2)?C6C4，f(0,3)?C6C4，因此
f(3,0)?f(2,1)?f(1,2)?f(0,3)?120．
515．(x?2y)的展开式中xy的系数是
1223A．－20 B．－5 C．5 D．20
32323A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项T4?C5(x)(?2y)??20xy，故xy的系数为－20，选
1223