内容发布更新时间 : 2024/12/25 9:36:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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组合显示偏好于(6,4)组合。
因此,消费者的购买行为不符合显示偏好理论。
20.抛一枚硬币,正面向上的概率为p,你参与一次打赌,如果抛第i枚时正面向上,你将得到2i美元。
/2时,此次打赌的预期值为多少? (1)当p?1(2)假设你的预期效用函数为u?x??lnx,描述这次博弈的效用之和。 (3)求效用和的值。
解:(1)在第i次抛掷时才第一次出现正面的概率为?1?p?因此,当p?1/2时,赌注的期望值为:
i?1p。
??1?p?i?1?i?1?1?p?2???1??2?i?1?i?i?1??1i?1?i?2?????2??1?? 2i?1?2?i?1i(2)期望效用为:
??1?p?i?1?i?1?i?1p?ln?2i????1?p?i?1i?1?i?1p?iln2?pln2?i?1?p?i?1?i?1
(3)先求无穷级数?i?1?p?。 令A??i?1?p?i?1??i?1?1?2?1?p??3?1?p??????i?1?p?i22i?1??i?1??1?p????? ①
i?1ii则?1?p?A??i?1?p??1?p?2?1?p???????i?1??1?p??i?1?p????? ②
i?1①-②可得:
pA?1??1?p???1?p???????1?p?2i?1??1?p??????i11?
1??1?p?p从而A??i?1?p?i?1?i?1??11ln2i?1pln2i1?p?pln2??,所以。 ???2pp2pi?1
21.设张三仅消费x和y两种商品,他的效用函数为U?L0.57x0.06y0.09,其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时:
(1)他将选择每周工作多少小时?
(2)他将把收入的多大比例用于购买x? (3)他消费x的需求价格弹性。
(4)如果他的收入下降30%,y的价格下降50%,他将过得更好还是更坏?
解:(1)闲暇的价格可以被认为是工资率w,则每周的总收入为?24?7?L?w?168w?Lw。假设商品x和y的价格分别为Px和Py。
因此,张三的效用最大化问题为:
570.maxU?L0.x06y0.09s..t Px?x?Py?y??168?L?w
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拉格朗日函数为: 一阶条件为:
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570.??L0.x06y0.09???Px?x?Py?y?w?L?168w?
???0.57L?0.43x0.06y0.09??w?0 ① ?L???0.06L0.57x?0.94y0.09??Px?0 ② ?x???0.09L0.57x0.06y?0.91??Py?0 ③ ?y???168w?Px?x?Py?y?w?L?0 ④ ??由①②可得:由①③可得:
57xw2???Pxx?wL ⑤ 6LPx1957yw3???Pyy?wL ⑥ 9LPy192wL266w14w24??,wL?0,解得L?133。从而x?19Px19PxPx19将⑤⑥代入④中,化简得168w?y?3wL399w21w??。 19Py19PyPy因此,该工人每周工作的时间为:168?L?168?133?35(小时)。 (2)该工人每周的总收入为:
?168?L?w?35w
所以,该消费者用于x的商品的支出比例为:
Px?x14w??0.4。 35w35w(3)由x??14w?Px14w?xPx?????2???1。可得,消费x的需求价格弹性为:E??
Px?Pxx14w/PPxx??(4)原先消费者的效用为:
?14w?U?1330.57???Px?0.06?21w???P???y?0.09??1330.57?140.06?210.09?w0.15Px?0.06Py?0.09
由(1)可知,收入增加、商品y的价格变化不会改变张三的工作与休闲的时间。收入下降30%主要表现为工资率减少30%。
因此,当收入下降30%,y的价格下降50%时,张三的效用为:
U??1330.57?140.06?210.09?0.7w? ??1330.570.15Px?0.06?0.5Py?Py?0.09?0.09?140.06?210.09?w0.15Px?0.06?0.70.150.5?0.09
因为0.70.150.5?0.09?1,所以,U??U,因而消费者将过得更好。
22.一个消费者仅消费两种物品,表2-1是他实际消费的部分信息。
表2-1 消费者的消费信息
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物品1 物品2 Born to win
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第二年 第一年 数量 100 100 价格 100 100 数量 120 ? 价格 100 80 问该消费者在第二年购买物品2的数量y在什么范围内: (1)表明他的消费行为是不一致的,即违背了偏好显示的弱定理。 (2)消费者第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束。 (3)消费者第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束。
(4)物品1对于消费者而言是劣等品(假设满足偏好显示的弱定理)。 (5)物品2对于消费者而言是劣等品(假设弱定理满足)。 解:(1)若消费者违背了偏好显示的弱公理,则有:
120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y 可得:y?[75,80]。
(2)若第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束,则有:
120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y 则第一年的消费显示偏好于第二年的消费束。此时y?75。 (3)若第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束,则有:
100?100?100?80?120?100?80y
120?100?100y?100?100?100?100时
可得:y?80。即当y?80第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束。 (4)当y?75时,物品1是劣等品。证明如下: 当y?75时,有:
120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y
显然,由第一年到第二年,真实财富下降,而物品1的相对价格上升。
但是由于y?75?100,物品2的需求下降。这意味着物品1的收入效应为负,因而是劣等品。
(5)当80?y?100时,物品2是劣等品。证明: 当80?y?100,有:
100?100?100?80?120?100?80y 120?100?100y?100?100?100?100
因此,由第一年到第二年,真实财富增加。而且物品2的相对价格下降。但是由于y?100,物品2的需求下降。这意味着物品2的收入效应为负,因而是劣等品。
23.用显示性偏好理论证明替代效应是负的。
证明:假设有两种商品x和y。对于两个商品束A?xa,ya?和B?xb,yb?而言,对应的价格
aa分别为?px,py?,?pxb,pby?,并且这两个商品束由于处于同一条无差异曲线上而对消费者具有
相同的偏好。
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aa消费者在?px,py?的价格空间下选择A而不选择B(实际上根据假定A和B是无差异
的),根据显示性偏好公理,可知此时选择A的支出至少不会比选择B的支出高,即:
aaaapxxa?pyya?pxxb?pyyb
aa亦即:px?xa?xb??py?ya?yb??0 ①
b同理,消费者在?px,pby?的价格空间下选择B而不选择A,可知此时选择B的支出至少
不会比选择A的支出高,即:
baapxxb?pbyyb?pxxa?pyya
b亦即:px?xb?xa??pby?yb?ya??0 ②
将①式和②式相加就可以得到:
a?pb?xa?xb??pxa?pxb???ya?yb??pyy??0 ③
a假设y商品的价格保持不变,即py则③式就可以写成:?x??px?0。不取等号是?pby,
因为商品x的价格和数量同时变动,所以二者乘积必不为零。
此式亦可以写成:一定为负。
24.设某消费者面临两时期的消费决策。效用函数是U?C1C20.6,两时期的收入分别为
y1?1000,y2?648,市场利率为0.08。确定消费者的各个时期的消费量C1,C2,并指出
?x?px?0。这就是当商品x价格变动所引起的替代效应,并且符号
U?U0消费者在第一期将会借入还是会贷出。
解:该消费者面临的最优决策问题为:
maxC1C20.6C1,C2
C2648s.. tC1??1000??16001?0.081?0.08
构造拉格朗日函数可得:
C2??L?C1C20.6???1600?C1?? 1?0.08??一阶条件为:
?L0.6?C2???0 ?C1?L??0.6C1C2?0.4??0 ?C21?0.08985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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C2?L?1600?C1??0 ??1?0.08解得:C1?1000,C2?648。
可见,该消费者在第一期既没有借入也没有贷出。
26.假设一个消费者的效用函数为:U?x,y??x2y,x为食品的消费量,y为所有其他商品的消费量。假设食品的价格为p1,所有其他商品的价格为p2,收入为m元。 (1)求最优的食品需求量。食品对该消费者来说是低档品吗?食品对该消费者来说是吉芬商品吗?
(2)在许多国家,穷人的食品消费得到政府的补贴。常见的补贴办法是,政府向穷人出售食品券,当然,食品券的价格低于食品的市场价格。假如我们这里考虑的消费者是一个受补贴的穷人。而且食品券的价格为p1?1,食品的市场价格为pt?2。所有其他商品的价格被标准化为p2?1。消费者的收入为m?150。问得到补贴后,消费者的消费行为会发生怎样的变化?
解:(1)由消费者均衡条件
MU1p2xyp?1可以得到:2?1,即p1x?2p2y。 MU2p2p2x将该式代入预算约束方程p1x?p2y?m, 可得最优消费数量y??由于由于
m2m,x??。
3p23p1?x2??0,所以食品属于正常商品。 ?m3p1?x2m??2?0,价格与需求量反向变动,符合需求法则,所以食品不是吉芬商品。 ?p13p1m2m?50,x???100 3p23p1m2m?50,x???50 3p23p1(2)当m?150,发放补贴时,p1?1,p2?1,此时:
y??而不发补贴时,p1?2,p2?1,此时:
y??可见,发放补贴的结果是使得食品x的消费增加了一倍,而其他商品的消费支出并不会
发生变化。
27.一个人年轻时候的收入为y,一生分为两个时期,maxU?lnC1??lnC2,C1?a?y,C2?a?1?r?,1???0,这些参数都大于0。
(1)求效用最大化时两个时期分别消费多少,并用图形表示。 (2)当?和r变大时,C1、C2怎么变,并用图形表示。 (3)当y增大时,C1、C2怎么变,并用图形表示。 解:(1)这个两时期最优消费问题可以重新表述为:
maxU?lnC1??lnC2C1,C2Cs.. tC1?2?y1?r
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