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湖北省部分重点中学2014届高三二月联考

高三数学试卷（理科）

命题学校：江夏一中

考试时间：2014年2月6日下午15:00—17:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

1．已知x,y?R，i为虚数单位，且(x?2)i?y??1?i，则(1?i)A．4

B．4+4i

C．?4

x?y的值为 ( ）

D．2i

2．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U = A?B，则集合CU(A?B) 的真子集共有 A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 3．要得到函数y?sin(2x?4?4A．向左平移?单位 B．向右平移?单位 C．向右平移?单位 D．向左平移?单位

488)的图象，只要将函数y?cos2x的图象（ ）

4．半径为R的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ A、33R2

B、3R2

C、22R2

D、2R2

）

n?N*)个普通职工的2013年的年收入,设这 x2， x3， ?， xn是武汉市n(n?3，5．已知数据x1，n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收

入xn?1（约900亿元），则这n?1个数据中，下列说法正确的是（ ） A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

26．在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1?a3)(a5?a7)?4a4，则下列结论中正确的是（ ）

A．数列{an}是递增数列； B．数列{an}是递减数列； C．数列{an}既不是递增数列也不是递减数列；

D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列．

7．已知实数a?0,b?0，对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题： ①“f(x)是奇函数”的充要条件是“函数f(x?a)的图像关于点A(a,0)对称”； ②“f(x)是偶函数”的充要条件是“函数f(x?a)的图像关于直线x?a对称”； ③“2a是f(x)的一个周期”的充要条件是“对任意的x?R，都有f(x?a)??f(x)”； ④ “函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于y轴对称”的充要条件是“a?b” 其中正确命题的序号是( )

1

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

→→→→

8．在边长为1的正三角形ABC中，BD＝xBA，CE＝yCA，x>0，y>0，且x＋y＝1， →→则CD·BE的最大值为

( )

5333A．－8 B．－4 C．－2 D．－8

x2y29．设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，

ab若PF1?PF2?6a，且?PF1F2的最小内角为30?，则C的渐近线方程为（ ）

2x D．y??2x 210．已知函数f(x)?logax?1(a?0,a?1)，若x1?x2?x3?x4，

A．y??x B．y??2x C．y??且f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，则

1111????（ ） x1x2x3x4A. 2 B. 4 C.8 D. 随a值变化

二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ．．．．．

（一）必考题（11—14题）

11．执行如图所示的程序框图，输出的S= ．

?y?0?12．若不等式组?y?2x表示的平面区域是

?y?a(x?1)?1?n?10? 一个三角形，则a的取值范围是 .

x2y213．已知椭圆2?2?1的面积计算公式是S??ab，

abS?S?n?2n则?2?21?12xdx?________； 411212312k14. 设数列,,,,,,?,,,?,,?.这个数列第2010项的值是________；

121321kk?11这个数列中，第2010个值为1的项的序号是 .

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答

2

结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，AB为半径为2的圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦， 垂足为E，弦BM与CD交于点F．则AC2＋BF·BM＝

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知锐角?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。 已知(a?c)(sinA?sinC)?(a?b)sinB。

（1） 求角C的大小。

（2） 求cos2A?cos2B的取值范围。

18．(本小题满分12分)

某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：

甲 乙 1 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7 14.1 10 14.3 12.5 (1)请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．

(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．

(3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．

3

19．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB?2，DC?1,BC?5，

AB?AD?2.

将（图1）沿直线BD折起，使二面角A?BD?C为600（如图2） （1）求证：AE?平面BDC；

CDA（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值。

D EAE BB 图2图120．(本小题满分12分)

6已知数列?an?满足a1??,1?a1?a2?????an??an?1?0(??0,???1,n?N*)7

（1） 求数列?an?的通项公式an；

1（2） 当??时，数列中是否存在含有a1在内的三项构成等差数列，若存在 ，请求出

3来；若不存在，请说明理由。 21．（本小题满分13分）

x2y23

已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝2，椭圆C的上、下顶点分别为A1，

25

A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为5． （1）求椭圆C的方程；

1

（2）过原点且斜率为2的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x(1?alnx)(x?1)

x?1C（1） 当a?0时，讨论g(x)?(x?1)2f??x?的单调性；

（2） 当a?1时，若f(x)?n恒成立，求满足条件的正整数n的值； （3） 求证：?1?1?2???1?2?3?????1?n?n?1???e

4

2n?52

湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三理数参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分. 1 2 3 4 5 6 题号 C C C A B C 答案 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 8194 12．(??,0) 13. ? 14.

7 A 8 D 9 D 10 A 3??57? ，8076181 15. 16 16.?2,?

4?7?三、 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（1）由正弦定理可知(a?c)(a?c)?(a?b)b ……………………2分

即a?b?c?ab。

222a2?b2?c21由余弦定理得 coCs?? ……………………4分

2ab2所以C??3 …………………5分

2?2? ，故B??A 33114?所以cos2A?cos2B?1?cos2A?cos(?2A)

2233115?sin2A?cos2A=1?sin(2A?) …………………8分 =1?4426（2）?A?B?因?ABC为锐角三角形，所以

?6?A??2

?7?5?11? …………………10分 ?2A??6665?1?-1?sin(2A?)??

6213?cos2A?cos2B的取值范围为[,) …………………12分

2418． 解 (1)茎叶图

………………3分

从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，

应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4分 (2)设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为

454

P＝1－P(A)(B)＝1－×＝. ………………7分

10105

(3)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，

则|x－y|<0.8， 得－0.8＋x

如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16， ………………10分

4.16104

则P(|x－y|<0.8)＝P(－0.8＋x

3×322519.解：如图取BD中点M，连接AM，ME。∵AB?AD?

5

2.?AM?BD