内容发布更新时间 : 2024/5/5 22:01:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

教师辅导讲义

年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 函数的基本性质 教学目的 通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法 教学内容 【知识梳理】 函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲） 【典型例题分析】 例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2. （1）证明f（x）是奇函数； （2）证明f（x）在R上是减函数； （3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+ f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0. ∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数. （2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0. ∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数. （3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6. 例2、关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________. 解析：作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图.

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y 3 2 1 O-11 2 3 x 由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1. 答案：1 例3、已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）. 若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：设符合条件的f（x）存在， ∵函数图象的对称轴是x=－又b≥0，∴－b， 2b≤0. 21b①当－＜－≤0，即0≤b＜1时， 22b函数x=－有最小值－1，则 2?b2b2b??b?4,?c??1?b?0,?f(?)??1????4??或?（舍去）. 2?2c?3c??1????1?b?c?0?f(?1)?0?②当－1＜－b1≤－，即1≤b＜2时，则 22b??b??2,?f(?)??1?b?2,?（舍去）或（舍去）. 2???c?0c?0????f(0)?0③当－?f(?1)??1,?b?2,b≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则?解得? f(0)?0,c?0.2??综上所述，符合条件的函数有两个， f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x. 变式练习： 已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）. 若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：∵函数图象的对称轴是 1b?1b?1，又b≥0，∴－≤－. 222设符合条件的f（x）存在， x=－ 2

①当－b?1≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则 2?f(?1)??1?1?(b?1)?c??1?b?1,???? ?f(0)?0c?0c?0.???b?1?)??11b?1?f(?②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则? 222??f(0)?0?b?12(b?1)2)??c??1?b?1,?(??2??（舍去）. 2c?0??c?0?综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x. 例4、设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0. （1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小； f(a)?f(b)a?b11）＜f（x－）； 24（3）记P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c2）}，且P∩Q=?，求c的取值范围. 解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0， （2）解不等式f（x－∴f(x1)?f(?x2)＞0. x1?(?x2)∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0. ∴f（x1）＜－f（－x2）. 又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）. ∴f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）是增函数. （1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）. （2）由f（x－11）＜f（x－），得 241??1?x??1,?2?115? ∴－≤x≤. ?1?x??1,?424?11?x??x?,?24?15≤x≤}. 24（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c， ∴P={x|－1+c≤x≤1+c}. 由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2， ∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}. ∴不等式的解集为{x|－

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