内容发布更新时间 : 2024/11/17 21:35:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

7-8-3.几何计数（三）

教学目标

1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法；

3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．

本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．

知识要点

一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法

1以及递推法等．n条直线最多将平面分成 2?2?3?……?n?(n2?n?2)个部分；n个圆

2最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……

在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．

排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类

数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条

数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．

ADBEC

数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．

例题精讲

模块一、立体几何计数

【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块

小正方体。

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【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，中年级，初试，6题，走美杯，4年级，决赛，第8题 【解析】 一共有：43??1?4?9??50（块）。

【答案】50块

【例 2】 将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，

然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 个。

【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第7题

【解析】 所以这个长方体的尺寸只有1?1?32，32?25，1?2?16，1?4?8，2?2?8，2?4?4五种情况，其中只有尺寸为2?2?8的长方体的表面染色后，有24个正方体有2个面涂红，所以有1个面涂红的小正方体有0个。

【答案】0

【例 3】 如图是一个由27个棱长为1的白色小正方体木块粘成的棱长为3的正方体木块，

现任意挖去其中的3个棱长为1的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的24个棱长为1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有____个.

【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第12题 【解析】 1）角块本身为3面暴露在外的小方块；

2）挖去外侧面中部的小方块，能够增加4块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案

3）因此挖去对称的2块外侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块

4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加 3块3面暴露在外的小方块，但同时破坏原来的2块3面在外的小方块.

5）所以最多有17块3面涂漆的小方块

【答案】17

模块二、几何计数的应用 【例 4】 如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。则在此图中最多可以画出__________

个面积是2平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:3×3=9(个) 【答案】9

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【巩固】 图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有 个。

【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第8题 【解析】 4×4+3×5=31 【答案】31个 【巩固】 下图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有

个。

【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题 【解析】 每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共

有:3?4?2?24(个)

【答案】24个

【例 5】 如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以

格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。

【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第2题 【解析】 我们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方

形中直角三角形的个数就得到所求的总数：4×2×2×4＝64 （个）

【答案】64

【例 6】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的

三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？

【解析】 面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个． (1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：

底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)

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