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ln(1 + i) ? ln(1 + k) 第11 页

55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t2 ? 1 ，利息力为(1 + t)?1，计算该年 金现值。与原答案有出入 解：

PV = exp(? ∫ 1 0 1 1 + t dt) ∫ 14 1 (t2 ? 1) exp(? ∫ t?1 0 1 1 + s ds)dt = 47.43

56. 给出下列符号的表达式: Σn t=1

(Ia)t| 和 Σn t=1 (Da)t| 解： 由(Ia)t|表达式有： Σn t=1

(Ia)t| = Σn t=1

a¨￢tp ? tvt i = 1

i Σn t=1

a¨￢tp ? 1 i Σ t=1

ntvt = 1 i2 Σn t=1

[(1 + i) ? vt?1] ? 1

i (Ia)n| 展开求和即得

= 1

i2 [n(1 + i) ? 2a¨￢np + nvn] 由(Da)t|表达式有： Σn t=1

(Da)t| = Σn t=1 t ? a￢tp

i = 1

i Σn t=1 t ? Σ t=1

n 1 ? vt i = 1

i n(n + 1)

2 ? 1 i2 (n ? a￢np ) =

i 2n(n + 1) ? n + a￢np i2

57. 现有两种永久年金：A－金额为p的固定期末年金；B－金额为q, 2q, 3q, · · · 的 递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。 第12 页

解： 年金现值分别为： PVA = pa∞pi ￢ =

p i PVB = q(Ia)∞| = q i +

q i2

(1)当PVA = PVB时有： ip = iq + q 解得：

i = q p?q , p > q i不存在, p ≤ q (2)令f(i) = p i ? q i ? q i2 f 0 (i) = ? p i2 + q i2 + 2 q i3 = 0

解得：i = 2q p?q p > q 58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单 价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利 率i = 5%)(与原答案有出入)

解： 用9年一周期的产品，则有支付的现值为： PV1 = 2 × [1 + ( 1.04 1.05 )9 + ( 1.04 1.05 )18 + ( 1.04 1.05 )27]

用15年一周期的产品，则有支付的现值为： PV2 = (2 + X) × [1 + ( 1.04 1.05 )15 + ( 1.04 1.05 )30]

由PV1 = PV2有：X = 0.6992

59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利 率11%，smp7% ￢ = 34, snp11% ￢ = 128。

解： 由s￢np 的表达式有：(1 + 0.11)n = 0.11snp11% ￢ + 1 AV = smp7% ￢ × (1 + 0.11)n + snp11% ￢ = smp7% ￢ × (0.11snp11% ￢ + 1) + snp11% ￢ = 640.72 第13 页

60. 甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每 年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X为买价，有价值方程： 0.4s10p6% ￢ + 2 = 0.8sn?10|6% + X(1 + 0.06)?(n?10) 从而有：

X = (0.4s10p6% ￢ + 2 ? 0.8sn?10|6%)(1 + 0.06)(n?10) 解得：X =

5.22 n = 15 2.48 n = 20

61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐

款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意：

AV = 100000(1+4%)20 +5000 s20p4% ￢ s2p4% ￢ ?12000(1+4%) s20p4% ￢ s2p4% ￢ = 109926.021

62. 已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少 一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K 的大小。 解： 由题意：

K1ampi ￢ = Ka2mpi ￢ ? K1 = K[1 + 1

(1 + i)m] < 2K 63. 已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：

2KaMpi ￢ = KaNpi ￢ ? vM = 1 + vN 2

> v N 2

即：M < N/2 第14 页

64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问： 什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。 解： 半年实利率：i = (1 + 6%)1/2 ? 1 = 2.9563% 余额首次超过X的时刻： 500¨s2n|i ≥ X 从而解得：n ≈

8 X = 10000 35 X = 100000

65. 帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦 开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐 户A。

解： 由题意，设所求时间为n:

1000¨a10p5% ￢ ≤ 500¨anp5% ￢ 解得：n ? 1 ≥ 30故在2015年的元旦B超过A。

66. 已知A = sn|i,B = sn+1|i。用A和B给出n和i的表达式。 解： 由= (1+i)n?1