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解题方法及提分突破训练：构造法专题

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

一 真题链接

m?2n?8?0,则（m?n)2012的值为

1.（2012 青海）若m,n为实数，且2m?n?1?2.（2012 莆田）

3.（2012?铁岭）如果x?1?y?2?0，那么xy= 4.（2012?佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC

（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．

（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？

5. （2012?佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：

（1）求这两种货车各用多少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

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二．名词释义

所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：

一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b

∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15 二．构建几何图形

对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

例2：已知 A 1≤≤5 B

，则x 的取值范围是（ ）

≤1 C 1＜＜ 5 D

≥5

表示数轴上到1与5的距离之

分析：根据绝对值的几何意义可知：

和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤≤5，故选A.

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三、构造函数模型，解数学实际问题

在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。

例3：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

解；（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品(50?x)件，由题意得：

?9x?4(50?x)?360?3x?10(50?x)?290 解得：30≤x≤32

? ∵x是正整数 ∴x＝30或31或32

∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品

31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。

（2）由题意得；y?700x?1200(50?x)＝?500x?60000 ∵y随x的增大而减小

∴当x＝30时，y有最大值，最大值为： ?500?30?60000＝45000（元）

答：y与x之间的函数关系式为：y＝?500x?60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

三．典题示例 一．构造方程解题

例1 若代数式m2 + 3与4m + 1互为相反数，则m-2等于（ ）

1 4解 由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2 + 3 + 4m + 1 = 0，

A. 4 B. - 4 C. D. -

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