内容发布更新时间 : 2024/12/28 13:23:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
圆压轴题八大模型题（五）
泸州市七中佳德学校 易建洪
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型5 三切线组合
直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E. ECCEDDFO图(3)
CEDGA
BO图(1)
ABO图(2)
AB(1)AD＝4，BC＝9，求AB； (2)求证：4AD·BC＝AB2.
(3)求证：CO＝CB·CD；
2
(4)求证：CO∥AE, DO∥BE.
【分析】(1)法一：如图(a)过点D作DF⊥BC,AB＝DF＝(9?4)2?(9?4)2＝12. 法二：如图(b)由△OBC∽△DAO, 或△COE∽△ODE得： r2＝4×9＝36,r＝6,AB＝12.
(2) 由△OBC∽△DAO,或 △COE∽△ODE得：r2＝AD?BC,( ∴4AD·BC＝AB2
(3)由Rt△CBO∽Rt△COD得：CO2＝CB?CD.
(4)∠CFE＝∠COG＝∠EGD＝90°,CO∥AE,DO∥BE.
CEDPBOFAFBO(a)
CCEDABEDO(b)
AAB2
)＝AD?BC, 2CEDGPOADEBOFABCF
图(4)
图(5)
图(6)
(5)求证：EP=FP.
(6)求证：DG=AG. (7)求证：EP=FP.
(8)若AB=25，AD=2，求BC和EF的长.
EPCPBPFP,∴EP＝FP. ???DACABDDA【分析】(5)由CB∥EF∥DA,CB＝CE,DA＝DE得
(6)由CB＝CE,∠CBE＝∠CEB＝∠DEG;CB∥DA得∠CBE＝∠D,∴∠DEG＝∠D.∴DG＝EG,又EG＝GA,∴DG＝AG. (7)EF∥DA,得
EPBPFP, 又DG＝GA,得EP＝FP. ??DGBGGA(8)由AB2＝4AD?BC得：（25）2＝4×2BC,∴BC＝2.5,CF＝BC＝2.5,BF＝5. 在Rt△ABF中，AF＝(25)2?52＝35.由AD∥BF得555∴EF＝AF＝×35＝5 399AEAD4, ??EFCF5【典例】
（2018·湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE·BE___________.
EOAD1【分析】连接 OE，由切线长定理可得∠AOE＝∠DOE，
21∠BOE＝∠EOC，再根据∠DOE＋∠EOC＝180°，可
2得∠AOB＝90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.
解：如图，连接 OE，∵AD、AB与半圆 O 相切， ∴ OE⊥AB，OA平分∠DOE，
BC图5-1
AED11∴∠AOE＝∠DOE，同理∠BOE＝∠EOC，
22∵∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠AOE＋∠BOE＝90°， 即∠AOB＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°， ∵∠BAO＋∠AOE＝90°，∴∠ABO＝∠AOE，
BOC图a
∵∠OEA＝∠BEO＝90°，∴△AEO∽△OEB， ∴AE：OE＝OE：BE，∴AE?BE＝OE2＝1， 答案：1. 【点拨】
由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等，或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。 【变式运用】
1.(2016?大庆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH. (1)求证：MH为⊙O的切线. (2)若MH＝33，tan∠ABC＝，求⊙O的半径. 24(3) 在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度.
解：（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点， ∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥AB， ∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB， 又∵OB＝OM，∴∠OMB＝∠MBO， ∴∠COH＝∠MOH， 在△COH与△MOH中，
，∴△COH≌△MOH（SAS），
图5-2
∴∠HCO＝∠HMO＝90°， ∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线，
图b
∴HC＝MH＝，∴AC＝2HC＝3，