内容发布更新时间 : 2024/12/24 20:26:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高等数学(本科少学时类型)
第一章 函数与极限
第一节 函数
○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★)
U?a,????x|x?a???
Uo?a,????x|0?x?a???
第二节 数列的极限
○数列极限的证明(★)
【题型示例】已知数列?xn?,证明xlim???xn??a 【证明示例】??N语言
1.由xn?a??化简得n?g???, ∴N???g?????
2.即对???0,?N???g?????,当n?N时,始终有不等式xn?a??成立, ∴limx???xn??a
第三节 函数的极限
○x?x0时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数f?x?,证明xlim?xf?x??A
0【证明示例】???语言
1.由f?x??A??化简得0?x?x0?g???, ∴??g???
2.即对???0,???g???,当0?x?x0??时,始终有不等式f?x??A??成立, ∴xlim?xf?x??A
0○x??时函数极限的证明(★)
【题型示例】已知函数f?x?,证明limx??f?x??A
【证明示例】??X语言
1.由f?x??A??化简得x?g???, ∴X?g???
2.即对???0,?X?g???,当x?X时,始终有不等式f?x??A??成立, ∴limx??f?x??A
第四节 无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质(★) 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x???
○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★)
(定理三)假设f?x?为有界函数,g?x?为无穷小,则lim??f?x??g?x????0
(定理四)在自变量的某个变化过程中,若f?x? 为无穷大,则f?1?x?为无穷小;反之,若f?x?为无穷小,且f?x??0,则f?1?x?为无穷大
【题型示例】计算:lim?f?x??g?x??0??(或x??) x?x1.∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心?邻域U?x0,??内是有界的;
(∵f?x?≤M,∴函数f?x?在x?D上有界;) 2.xlim?xg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小; 0(limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小;)
x??3.由定理可知limx?x??f?x??g?x????0
0(limx????f?x??g?x????0)
第五节 极限运算法则
○极限的四则运算法则(★★) (定理一)加减法则 (定理二)乘除法则
关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算
设:???p?x??amm?10x?a1x???am??q?x??bnn?1
0x?b1x???bn??n?m则有limp?x????q?x????a0 n?m
x?b0??0n?m??f?x0?g?x0??0limf?x??g?x0?x?x?x????? g??x0??0,f?x0??0 0g?0?g?0?x0??f?x0??0(特别地,当limf?x?0x?xg?x??0(不定型)时,通常分
0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)
【题型示例】求值limx?3x?3x2?9 【求解示例】解:因为x?3,从而可得x?3,所以原式?limx?3x?3x2?9?limx?311x?3?x?3??x?3??limx?3x?3?6 其中x?3为函数f?x??x?3x2?9的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):
0解:limx?30x?x?3x2?9?L?lim?3??x?3??lim1?1 x2?9??x?32x6○连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★)(定理五)若函数f?x?是定义域上的连续函数,那么,limx?xf?0???x????f???limx?x??x??0?? 【题型示例】求值:limx?3x?3x2?9 【求解示例】limx?3x?3x2?9?limx?3x?3x2?9?16?66
第六节 极限存在准则及两个重要极限
○夹迫准则(P53)(★★★) 第一个重要极限:limsinx?0x?1
x∵?x????0,??2??,sinx?x?tanx∴limsinxx?0x?1 limx?lim1?0sinx?lim1x?0?1 x?0sinxxxlim?sinx?x?0??x??(特别地,limsin(x?x0)x?x?1) 0x?x0
○单调有界收敛准则(P57)(★★★)
x第二个重要极限:lim?x????1?1?x???e
(一般地,lim?g?f?x????x????limf?x??limg??x?,其中
limf?x??0)
x?1【题型示例】求值:lim?2x?3?x????2x?1??
【求解示例】
x?1x?1x?1解:lim?x???2x?3??2x?1???lim?2x?1?x???2??2x?1????2?2xlim?1????1?2x?1??22x?12??x?1?2?2x?1??x?1??2x?1?2x?1?2xlim??1????1?2?2x?1????2?22xlim??1????1?????2x?1????2x?12xlim?2?1????2x?1??x?1???2??lim?2???2??e1????2x?1??x?1?2x??????2xlim?1???1???2x?1?????e2xlim??1????2x?2?2x?1???e1?e
第七节 无穷小量的阶(无穷小的比较) ○等价无穷小(★★)
1.U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1?U)~?eU?1? 2.1U22~1?cosU
(乘除可替,加减不行)
【题型示例】求值:limln?1?x??xln?1?x?x?0x2?3x 【求解示例】
解:因为x?0,即x?0,所以原式?limln?1?x??xln?1?x?x?0?lim?x2?3x
1?x??ln?1?x?x?x?3??lim?1?x??x?limx?1x?0x?0x?x?3?x?0x?3?13第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义(★)
xlim?xf?x??xlim0??x?f?x??f?x0?
0○间断点的分类(P67)(★)
第一类间断点(左右极限存在)??跳越间断点(不等)?可去间断点(相等)第二类间断点?????无穷间断点(极限为?)(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)
?e2x【题型示例】设函数f?x???x?0?a?x ,x?0应该怎样选
择数a,使得f?x?成为在R上的连续函数?
【求解示例】
?f?0???e2?0??e1?e1.∵???f0??a?0??a
?????f?0??a2.由连续函数定义xlim?0?f?x??xlim?0?f?x??f?0??e
∴a?e
第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理(★)
【题型示例】证明:方程f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】
1.(建立辅助函数)函数??x??f?x??g?x??C在闭区间?a,b?上连续;
2.∵??a????b??0(端点异号)
3.∴由零点定理,在开区间?a,b?内至少有一点?,使得?????0,即f????g????C?0(0???1)4.这等式说明方程f?x??g?x??C在开区间?a,b?内至少有一个根? 第二章 导数与微分
第一节 导数概念
○高等数学中导数的定义及几何意义(P83)(★★)【题型示例】已知函数f?x????ex?1 ,x?0在x?0?ax?bx?0处可导,求a,b
【求解示例】
?f?1.∵???f??e0?1,??0???e0?1?e0?1?2???0???f???0??a?f??0???b ??f?0??e0?1?22.由函数可导定义??f???0??f???0??a?1???f?0???f?0???f?0??b?2 ∴a?1,b?2
【题型示例】求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程 (或:过y?f?x?图像上点??a,f?a???处的切线与法线方程) 【求解示例】
1.y??f??x?,y?|x?a?f??a? 2.切线方程:y?f?a??f??a??x?a? 法线方程:y?f?a???1f??a??x?a? 第二节 函数的和(差)、积与商的求导法则
○函数和(差)、积与商的求导法则(★★★) 1.线性组合(定理一):(?u??v)???u???v? 特别地,当????1时,有(u?v)??u??v? 2.函数积的求导法则(定理二):(uv)??u?v?uv?
3.函数商的求导法则(定理三):??u??u?v?uv??v???v2 第三节 反函数和复合函数的求导法则
○反函数的求导法则(★)
【题型示例】求函数f?1?x?的导数
【求解示例】由题可得f?x?为直接函数,其在定于域D
上单调、可导,且f??x??0;∴??f?1?x?????1f??x? ○复合函数的求导法则(★★★) 【题型示例】设y?ln?earcsinx2?1?x2?a2?,求y?
【求解示例】
解:y???1earcsinx2?1?x2?a2?x2?a2???earcsinx2?1?????1???arcsinx2?1??x2?1???x2?a2????earcsinx2?1?x2?a2??e?1???x2??1?2x2?a2??????2x???1???earcsinx2?1??2x2?12x?earcsinx2?1?x2?a2?2?x2?2x2?a2???????1???x2?1xx?earcsinx2?1?x2?a2?earcsin??x2?1?2?x2?x2?a2??
第四节 高阶导数 ○f?n??x????f?n?1??x???n?n?1????(或dy?dydxn???dx?n?1??)(★) ?【题型示例】求函数y?ln?1?x?的n阶导数 【求解示例】y??1?1?x??1?x?1, y??????1?x??1??????1???1?x??2, y????????1???1?x??2??????1????2???1?x??3 ……
y?n??(?1)n?1?(n?1)!?(1?x)?n
第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导(等式两边对x求导)(★★★) 【题型示例】试求:方程y?x?ey所给定的曲线C:
y?y?x?在点?1?e,1?的切线方程与法线方程
【求解示例】由y?x?ey两边对x求导
即y??x???ey??化简得y??1?ey?y?
∴y??11?e1?11?e ∴切线方程:y?1?11?e?x?1?e?