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《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（基础）

撰稿：康红梅 责编：李爱国

【学习目标】

1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：2.幂的乘方：3.积的乘方：4.同底数幂的除法：

(m，n为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

(m，n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. (n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.

(a≠0, m，n为正整数，并且m?n).

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：a?1?a?0?.即任何不等于零的数的零次方等于1.

0

6.负指数幂：a?n?1(a?0，n为正整数).任何不等于0的数的－n次幂，等于这个数na的n次幂的倒数.

要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法 1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即

m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即?a?b??m?n??am?an?bm?bn.

要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：?x?a??x?b??x??a?b?x?ab.

2要点三、乘法公式

1.平方差公式：(a?b)(a?b)?a?b

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

222222

222. 完全平方公式：?a?b??a?2ab?b；(a?b)?a?2ab?b

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.

要点诠释：落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算

1、计算下列各题：

（1）(3?10)?(?10) （2）[3(m?n)][?2(m?n)]

26243（3）(?2xy)?(?3xy) （4）(?2a)?(?3a)?[?(2a)]

6322323342332

【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】

1819解：（1）(3?10)?(?10)?3?(10)?(10)?27?10?2.7?10．

233432334（2）[3(m?n)][?2(m?n)]?3?(m?n)?(?2)?(m?n)

23323626?27(m?n)6?4(m?n)6?108(m?n)12．

（3）(?2xy)?(?3xy)

26243?(?1)6?26?x6y12?(?1)3?33x6y12?64x6y12?27x6y12?37x6y12．

(?2a)?(?3a)?[?(2a)]?(?1)?2a?(?1)?3?(a)?(?1)?(2a) （4）

632236662232366?64a6?9a6?64a6??9a6．

【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别． 举一反三： 【变式】当a?【答案】

1231332，b＝4时，求代数式a(?b)?(?ab)的值． 421177?1?解：a(?b)?(?ab2)3?a3b6?a3b6?a3b6?????46?56.

2888?4?3323类型二、整式的乘除法运算

2、解下列不等式．

（1）2x(x?1)?x(2x?5)?12 （2）3x(7?x)?18?(3x?15)x 【答案与解析】

解：（1）2x?2x?2x?5x?12，

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