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数值分析（研究生，2009-12-12）

1.（10分）求函数f(x)?x在区间[0，1]上关于权函数w(x)?x的最佳逼近多项式?(x)?a?bx?cx2.

2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量

?2?10???12?1?，初始向量为T（要求结果有三位有效数字）。同时计算x?[1,0,0]0???11??0?13该矩阵的?-条件数和谱条件数。

3.（15分）假定给出函数f(x)?sinx的等距点函数表(?1?x?1)。若用二次抛物线插值求sinx的近似值，要使截断误差不超过10?3，问使用函数表的步长h应取多少？

4.（15分）用Newton迭代法求方程3x2?ex?0在区间（0，1）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用SOR迭代法解方程组

?6?10??x1??2??16?2??x????4? ???2?????0?38????0???x3???取初始近似向量x0?[0,0,0]T，估计达到精度达到10?3需要的迭代次数，并实

际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组

?xy?z2?1,? ?xyz?y2?x2?2

?ex?z?ey?3?取[1,1,1]T作为初始值，终止容限??10?2。

7.（10分） 求数据（-1，2），（0，1），（1，2），（2，4）的最小二乘拟合?(x)?a0?a1x2.

8. （10分）用复合Simpson公式计算积分 I(f)??excoxsd x01讨论在误差要求不超过10?2的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。