内容发布更新时间 : 2024/7/1 17:51:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第2讲 函数的单调性与最值

最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性．

知 识 梳 理

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自定义 变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 自左向右看图象是下降的 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 诊 断 自 测 M为最小值 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

1

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)

x(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)

(3)函数y＝|x|是R上的增函数．(×)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) 2．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ) A．y＝e C．y＝ln x

－xB．y＝x D．y＝|x|

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解析 A项，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求；B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；C项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；D项，函数定义域为R，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求．

答案 B

3．函数y＝x－6x＋10在区间(2,4)上是( )

2

A．递减函数 C．先递减再递增

解析 作出函数y＝x－6x＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增． 答案 C

2

B．递增函数 D．先递增再递减

4．(2014·天津卷)函数f(x)＝lg x的单调递减区间是________．

解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lg u在(0，＋∞)上为增函数，u＝

2

x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减．

答案 (－∞，0)

5．(人教A必修1P31例4改编)f(x)＝最小值为________．

解析 可判断函数f(x)＝

2

在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝x－1

2

，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，x－1

f(6)＝.

2

答案 2

5

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考点一 确定函数的单调性或单调区间