内容发布更新时间 : 2024/9/23 0:41:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．2 应用举例(一)

[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．

[知识链接]

“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘． [预习导引] 1．仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图．

2．方位角和方向角

从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是[0,2π]． 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如北偏东30°，南偏东45°. 3．坡角与坡度

坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度．

要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度

例1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD. 解 在△ABC中， ∠BCA＝90°＋β，

∠ABC＝90°－α，

∠CAD＝β ，∠BAC＝α－β. 根据正弦定理得＝，

sin∠ABCsin∠BAC即

＝

sin90°－αsinα－βACBCACBC，

BCcos αhcos α∴AC＝＝.

sinα－βsinα－βhcos αsin β在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.

sinα－βhcos αsin β答 山的高度为.

sinα－β规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．

跟踪演练1 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m(精确到1 m，sin 35°≈0.574)． 答案 812

解析 过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°， 所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°. 在△ABD中，由正弦定理，AB＝

ADsin∠ADB＝1 0002(m)．

sin∠ABD在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈812(m)． 要点二 测量仰角求高度问题

例2 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.

解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°， 所以CD＝AD.

在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，

2

800×

2ABADAB·sin 45°

由＝，得AD＝＝＝800(3＋1) (m)． sin 15°sin 45°sin 15°6－2

4即山的高度为800(3＋1) m.

规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．

跟踪演练2 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

解 在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β， ∴∠CBD＝180°－(α＋β)， ∴

BCsin βsin[180°－α＋βsin β·s.

sinα＋β＝

s，即＝. ]sin βsinα＋βBCs∴BC＝

在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴＝tan θ， sin β·tan θ∴AB＝BC·tan θ＝·s.

sinα＋β要点三 测量两个不能到达点之间的距离问题

例3 如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为

3

km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，2

ABBC求A、B两点间的距离．

解 在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得＝，

sin 30°sin 45°则BC＝

BCCDCDsin 30°

sin 45°

＝

6

( km)． 4

在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，