内容发布更新时间 : 2026/7/1 21:07:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题六 概率与统计 第2讲 随机变量及其分布练习 理
一、选择题
1.(2014·新课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 C.0.6
B.0.75 D.0.45
解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求0.6
随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
0.75答案 A
2.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 C.0.36
B.0.432 D.0.312
2
解析 3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.6×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.6，所以通过测试的概率P＝P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.6×(1－0.6)＋0.6＝0.648.故选A. 答案 A
3.(2017·合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于( ) A. C.
3
2
3
8545B. D. 3
，满足二项分布，则有E(X)＝np3＋m
6525解析 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝
33?3?6
＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××?1－?＝.
3＋m5?5?5答案 B
4.(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B. 答案 B 5.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.则有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) 16A. 625C.624 625
B.D.96 6254 625
解析 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情况；若摸出的两球是2，6，也能获奖.故获奖的情形共6种，获奖的概率为
2
＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是5
?2?396C34??·＝. ?5?5625
答案 B
3
二、填空题
6.(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.
解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－×＝，∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X～B?2，?，则E(X)＝2×＝. 答案 7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)，现定义数列an＝
11322432??3?4?3342??－1，点数不是3的倍数，?Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是________. ?1，点数是3的倍数，?解析 该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次.
23132??故其概率为C15·???3?答案
11410??＝. ??3??24310 2438.(2017·金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：
同学 概率 甲 0.5 乙 丙 a a 76现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E(ξ)＝，则a＝__________. 解析 ξ可取值0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2；
P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)； P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)； P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2.
∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋
7P(ξ＝3)×3＝. 6即0.5(1－a)＋a(2－a)＋1.5a＝，解得a＝. 答案 三、解答题
9.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出 险次数 保费 0 0.85a 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 2
2
761313a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5