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2019人教版精品教学资料·高中选修数学

1．1.3 导数的几何意义

预习课本P6～8，思考并完成下列问题

(1)导数的几何意义是什么？

(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？

(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？

[新知初探]

1．导数的几何意义

(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．

(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li m →

Δx0

f?x0＋Δx?－f?x0?

＝f′(x0)．

Δx

2．导函数的概念

(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)． (2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li m →

Δx0

f?x＋Δx?－f?x?

.

Δx

[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f(x)＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 C．与x轴垂直 答案：B

3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( ) A．4 C．－2 答案：D

4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．

答案：y轴 x轴

求曲线的切线方程

14

[典例] 已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．

33[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点P(2,4)．

1414?2＋Δx?3＋－×23－3333Δy

y′|x＝2＝li m ＝li m

ΔxΔx→0ΔxΔx→012

＝li m [4＋2·Δx＋(Δx)]＝4.

3Δx→0∴k＝y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.

1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤

B．－4 D．2

B．与x轴平行或重合 D．与x轴斜交

2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))．

→0 (2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝liΔxm(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程．

(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]

过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( ) A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 B．x－y－2＝0

C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0 D．x－y＋2＝0

解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上， →0 若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝liΔxm?1＋Δx?3－2?1＋Δx?－?－1?

＝li m

ΔxΔx→0

2

＝li m [(Δx)＋3Δx＋1]＝1， →

Δx0

f?x0＋Δx?－f?x0?

. Δx

f?1＋Δx?－f?1?

Δx

∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，

3

y0＋1x3?x0－x0?－?x0－1?0－2x0＋1则k＝＝＝

x0－1x0－1x0－12

＝x0＋x0－1，

又由导数的几何意义知 k＝f′(x0)＝li m →

Δx0

f?x0＋Δx?－f?x0?

Δx

?x0＋Δx?3－2?x0＋Δx?－?x30－2x0?

＝li m ＝3x20－2， →ΔxΔx0

22∴x0＋x0－1＝3x20－2，∴2x0－x0－1＝0，

1∵x0≠1，∴x0＝－. 2