内容发布更新时间 : 2024/5/6 10:34:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

实变函数试题

一，填空题

??1. 设An??,2?,

?n?1n?1,2?,

An????????????????. 则limn??2. ?a,b?????,???,因为存在两个集合之间的一一映射为

??????????

1??cos,x?0y??2x3. 设E是R中函数的图形上的点所组成的

??0,????????x?0??E????????????????????????E集合，则，????????????????????????. n4. 若集合E?R满足E??E, 则E为???????????????????????集.

5. 若??,??是直线上开集G的一个构成区间, 则??,??满足:

????????????????????????????????????????, ????????????????????????????????????????.

6. 设E使闭区间?a,b?中的全体无理数集, 则

mE?????????????????.

?7. 若mE??fn(x)?f(x)??0, 则说?fn(x)?在E上????????????????.

nn8. 设E?R, x0?R,若????????????????????????????????????????,则称x0是

E的聚点.

9. 设?fn(x)?是E上几乎处处有限的可测函数列, f(x)是E上 几乎处处有限的可测函数, 若???0, 有

?????????????????????????????????

, 则称?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).

10. 设fn(x)?f(x),x?E, 则??fn(x)?的子列fnj(x), 使得????????????????????????????????????????.

二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若A,B可测, A?B且A?B,则mA?mB. 2. 设E为点集, P?E, 则P是E的外点.

??1??3. 点集E??1,2,?n,??的闭集.

??4. 任意多个闭集的并集是闭集.

n5. 若E?R,满足m*E???, 则E为无限集合.

三, 计算证明题

1. 证明:A??B?C???A?B???A?C?

3

MR2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,

有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集.

n3. 设E?R,E?Bi且Bi为可测集, i?1,2?.根据题意, 若

有

m*?Bi?E??0,???i???, 证明E是可测集.

3?ln1?x,?????????x?P???4. 设P是Cantor集, f(x)??2.

x,?????????????????????x?0,1?P????求(L)?0f(x)dx.

3xx5. 设函数f(x)在Cantor集P中点上取值为, 而在P00的

1

11余集中长为3n的构成区间上取值为6n, ?n?1,2??, 求

?10f(x)dx.

1nx3lim(R)sin6. 求极限: n???01?n2x3nxdx.

实变函数试题解答

一 填空题 1. ?0,2?.

????2. ?(x)?tan?b?a?x?a??2?,x??a,b?.

???1?3. ?(x,y)y?cosx,x?0??(0,y)y?1; ?. ????4. 闭集.

5. ??,???G.????G,????G. 6. b?a.

7. 几乎处处收敛于f(x) 或 a.e.收敛于f(x). 8. 对???0,??U(x0,?)有?E??x0????.

0mE?fn(x)?f(x)????0 9. lim??n??10. fn(x)?f(x)??a.e.于E. 二 判断题

1. F. 例如, A?(0,1), B??0,1?, 则A?B且A?B,但

mA?mB?1.