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18．（本小题满分13分）

2ax?a2?1已知函数f(x)?，其中a?R．

x2?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．

19．（本小题满分14分）

x2y2631已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且经过点(,)．

3ab22（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P(0,2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最 大值．

20．（本小题满分14分）

若正整数N?a1?a2?一个“分解积”．

（Ⅰ）当N分别等于6,7,8时，写出N的一个分解积，使其值最大；

*（Ⅱ）当正整数N(N?2)的分解积最大时，证明：ak(k?N)中2的个数不超过2；

?an(ak?N*,k?1,2,,n)，则称a1?a2??an为N的

（Ⅲ）对任意给定的正整数N(N?2)，求出ak(k?1,2,大．

,n)，使得N的分解积最

北京市西城区2012年高三二模试卷

数学（文科）参考答案及评分标准

2012.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．B； 7．C； 8．C ．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．

π1； 10．?2； 11．； 46112．0，{x|1?x?2}； 13．，3π； 14．② ③．

3注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．

依题意 a3?a8?(a2?a7)?2d??6，从而d??3． ………………2分 所以 a2?a7?2a1?7d??23，解得 a1??1． ………………4分

所以数列{an}的通项公式为 an??3n?2． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{an?bn}是首项为1，公比为c的等比数列，

n?1n?1 得 an?bn?c，即?3n?2?bn?c，

n?1 所以 bn?3n?2?c． ………………8分

所以 Sn?[1?4?7? ??(3n?2)]?(1?c?c2??cn?1)

n(3n?1)?(1?c?c2?2?cn?1)． ………………10分

n(3n?1)3n2?n?n? 从而当c?1时，Sn?； ………………11分 22n(3n?1)1?cn? 当c?1时，Sn?． ………………13分 21?c

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：f(x)?2sin(?x???)． ………………2分

设f(x)的最小正周期为T． 由图可得

π3Tπππ??(?)?，所以 T?π，??2． ………………4分 2442π由 f(0)?2，得 sin(??)?1，

3πππ因为 ??(?,)，所以 ??． ………………6分

622π（Ⅱ）解：f(x)?2sin(2x?)?2cos2x． ………………8分

2由 f()?2cos??224?45?25，得 cos?， ………………9分 525所以 cos??2cos所以

?2?1?3． ………………11分 52sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?1???． ………………13分

2sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?4

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．

因为 EA?EB，所以 EO?AB． ……………2分

GFE因为 AB∥CD，AB?2CD， 所以 BO∥CD，BO?CD．

又因为 AB?BC，所以四边形OBCD为矩形，

CBDOA所以 AB?DO． ………………4分 因为 EO?DO?O，所以 AB?平面EOD． ………………5分

所以 AB?ED． ………………6分 （Ⅱ）解：点F满足

EF1?，即F为EA中点时，有DF// 平面BCE．……………7分 EA21AB． 2证明如下：取EB中点G，连接CG，FG． ………………8分 因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG?因为AB∥CD，CD?1AB，所以FG∥CD，FG?CD． 2所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DF∥CG． ………………11分 因为 DF?平面BCE，CG?平面BCE， ………………12分

所以 DF// 平面BCE． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?(x?1)(x?1)2x?f(x)??2，． ………………2分 222(x?1)x?1由 f?(0)?2， 得曲线y?f(x)在原点处的切线方程是2x?y?0．…………4分 （Ⅱ）解：f?(x)??2(x?a)(ax?1)． ………………6分 2x?12x① 当a?0时，f?(x)?2．

x?1所以f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减． ………………7分

1(x?a)(x?)a．当a?0，f?(x)??2a2x?1

② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1??a，x2?

x f?(x) (??,x1) x1 (x1,x2) 1，f(x)与f?(x)的情况如下：a

x2 (x2,??) ? ↘ 0 f(x1) ? 0 f(x2) ? ↘ f(x) ↗ 故f(x)的单调减区间是(??,?a)，(,??)；单调增区间是(?a,)．………10分 ③ 当a?0时，f(x)与f?(x)的情况如下： x f?(x) 1a1a

(??,x2) ? x2 (x2,x1) x1 (x1,??) 0 f(x2) ? ↘ 0 f(x1) ? f(x) ↗ ↗ 所以f(x)的单调增区间是(??,)；单调减区间是(?1a1,?a)，(?a,??)． a1a ………………13分 综上，a?0时，f(x)在(??,?a)，(,??)单调递减；在(?a,)单调递增.

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