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第5章 级数与拉普拉斯变换

无穷级数是进行数值计算的一个重要工具,在自然科学与工程技术中有着广泛的应用.本章在介绍无穷级数的基本概念、性质以及数项级数敛散性的基础上，讨论如何将一般函数展开成幂级数与三角级数.

无穷级数包括：数项级数、幂级数、傅里叶级数.无穷级数是研究函数的工具，它主要有以下这些作用：表示函数、研究性质、数值计算.

§5．1 级数的基本概念和性质

一、无穷级数的基本概念

1.设u1 ， u2 ， uｎ ，? （5.1.1） ? ，是按一定顺序排列起来的一个无穷数列，对数列（5.1.1）的各项依次用加号连接起来的表达式

u1＋u2＋?＋uｎ＋? ＝ ?un

n?1?（5.1.2）

叫做无穷级数（简称级数）.其中u1叫作级数的第1项（也叫首项），u2叫作级数的第2项，?，第n项叫作级数的一般项（或者叫通项）．

2.如果级数（5.1.2）中的各项是常数，则称级数（5.1.2）为常数项级数（简称数项级数）．

?1111例如 1??????? 为一个数项级数，记作?.

23nn?1n3.如果级数（5.1.2）中的各项是变量x的函数，则称级数（5.1.2）为函数项级数

例如 x+x+ x+?+x+? 为一个函数项级数，记作?2

3

n

n?1?1. nx二、级数的敛散性

1.从级数（5.1.2）的首项加到第n项止，即级数的前n项（有限项）的和 sn=

?uk?1nk= u1＋u2＋?＋uｎ 叫做级数的部分和． 当n依次取1，2，3，?

时，级数的部分和构成一个新的数列s1，s2，s3，?，sn，?叫做级数的部分和

数列，记作｛sn｝

2. 当n→∞时，如果级数（5.1.2）的部分和数列sn存在极限，即limsn?s

n??则称级数（5.1.2）收敛，极限值s称为级数（5.1.2）的和．记作 s=u1＋u2＋?＋uｎ+?．

3. 当n→∞时，如果级数（5.1.2）的部分和数列sn没有极限，则称级数（5.1.2）发散，这时级数（5.1.2）就没有和．

4.当级数收敛时，其部分和sn是级数的和s的近似值，称s－sn为级数的余项，记为rn，即rn=s－sn= un+1＋un+2＋?．

由此定义可知，级数与其部分和数列有着紧密的联系，也就是说，级数的收敛、发散性（简称敛散性）就是用级数的部分和数列是否有极限来定义的．正因为如此，我们不难看出，数列与级数是一个问题的两种形式，一般地，任给级数（5.1.2），则对应一个数列｛sn｝，反之对于给定数列｛sn｝可令u1=s1 ，u2=s2 －s1 ，?，un=sn －sn-1，? 从而构成级数?un这样级数的问题常可以转化为数列

n?1?的问题来研究，数列的问题也可以转化为样级数的问题来处理．

[例1] 讨论几何级数（等比级数）a+aq+aq2+?+ aqn-1+? （5.1.3）

（其中q是公比，a≠0）的敛散性．

a?aqnaaqn解 如果q≠1，则部分和sn= a+aq+aq+?+ aq= ??1?q1?q1?q2

n-1

当q<1时，由于limqn=0，所以limsn=

n??n??a； 1?q当q>1时，由于limqn=∞，所以limsn=∞，即级数发散；

n??n??当q=1时，sn=na，所以limsn=∞，即级数发散；

n??

当q=－1时，此时级数为 a－a＋a－a＋a－? 即其部分和为

?0，n为偶数sn??

?a，n为奇数 所以sn的极限不存在，级数发散．

根据以上讨论可得：当q<1时，等比级数?aqn收敛，其和为

n?0?a； 1?q 当q≥1时，等比级数?aqn发散

n?0?[例2]讨论级数

?n?n?1??n?1?1111??????的敛散性． 1?2?23n??n??1 解 级数的前n项和 sn=

111= ????1?22?3n??n?1?1 n?11??1??11??11????????????? 223nn?1?????? =1－

1??由于limsn??1???1 所以级数收敛，且其和为1 n???n?1?三、 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散以及和的概念，可以得出收敛级数的几个基本性质．

1.性质1（数乘性） 如果级数

?un?1?n收敛于和s，则级数

?kun?1?n（k为非零常

数）且其和为ks

性质1告诉我们：级数的每一项同乘一个非零常数后，它的收敛性不会改变．

2.性质2（和差性） 如果级数

?un?1?n、

?vn?1?n分别收敛于s、σ，则级数

??un?1?n?vn?也收敛，且其和为s±σ．

性质2告诉我们：收敛级数的和（或差）所构成的级数等于级数的和（或差）

3.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． 4.性质4 如果级数

?un?1?n收敛，则对该级数的项任意加括号后所成的新级数

仍收敛，且其和不变．

性质4告诉我们：对于收敛级数，只要不改变级数各项的次序，我们可以任意合并它的一些项，级数仍然收敛，且收敛于原来的和．

推论 如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散．

5.性质5（级数收敛的必要条件）如果级数于零，即

limun?n???un?1?n收敛，则它的一般项un趋

0

性质5告诉我们：如果级数的一般项不趋于零，则该级数必发散．

注意： 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的

[例3]

：调和级数

?n?1?2?3???n??

n?1?1111（5.1.4）

?11un?lim? ，0 但级数?是发散的 虽然有 limn??n??nn?1n假设级数（5.1.4）收敛，设它的部分和sn，且sn→s（n→∞）．显然，对级数（5.1.4）的部分和s2n，也有s2n→s（n→∞）．于是 s2n－sn→s－s=0（n→∞）．

11111111??????????2n2n2n2n2n= 2 但另一方面s2n－sn= n?1n?2故s2n－sn不趋于零，与假设级数（5.1.4）收敛矛盾，这说明级数（5.1.4）必发散．

习题5．1

1 写出下列级数的一般项：

111 （1）1?????

35723456 （2）??????

12345xxxxx2????? （3）22?42?4?62?4?6?8a2a3a4a5??? （4）??3579

2 根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性： （1）?n?1??n?1?n

? （2）

1111??????? 1?33?55?7?2n?1??2n?1?2?n????sin??

666 3判断下列级数的收敛性：

（3）sin??sinn88283n8 （1）??2?3????1?n??

99991111?? （2）?????3693n1111?3???n?? （3）?3333332333n （4）?2?3???n??

22221?11??1 （5）?????2?23?23??21??11??1????????3?n3?3n??23??2???? ?§5．2 常数项级数的审敛法

一、正项级数审敛法

如果级数?un，其中un≥0，（n=1，2，3，?），则称级数?un为一正项

n?1n?1??级数；如果un≤0，（n=1，2，3，?），则称级数?un为一负项级数．将负项级

n?1?数每项乘以－1，负项级数就变成了正项级数．显然，负项级数与正项级数相比，只差一个符号，由性质1可知：正项级数与负项级数具有相同的敛散性．于是负项级数可以归结为正项级数来研究，为此，我们着重研究正项级数的敛散性．

（一）正项级数收敛的充要条件

定理一 正项级数?un收敛的充要条件是：它的部分和数列｛sn｝有界．即

n?1?存在某正数M，对一切自然数n sn=?uk≤M 成立

k?1n