内容发布更新时间 : 2024/11/16 0:46:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
如果部分和数列｛sn｝无界，单调增加的无界数列｛sn｝必发散，故级数发散
定理一表明：判断正项级数的收敛问题，可化为判断该级数的部分和数列｛sn｝是否有界的问题．
[例1]证明级数?证
∵
1是收敛的
n?1n?n?1?
?sn=
111????1?22?3n??n?1?=
1??1??11??11????????????? 223nn?1??????1＜1 对一切自然数n都成立，也就是说，该正项级数的n?1部分和数列有界，
=1－
∴ 该级数?1是收敛的．
nn?1?n?1?1111??????? 的敛散性． 1?2?n?n?1n???[例2]讨论正项级数 ?解 因为
11?n?1 （n=1，2，?） n?2111于是 sn???????
1?2?n?111 ≤1??2???n?1
2221?1?1???12?2n?1??2?n?1?2 = 1?121?2即对一切自然数n都有sn＜2．
也就是说：该正项级数的部分和数列有界，故级数?1收敛． n?1n??一般来说：判断sn有界并不容易，为此，往往不直接利用定理一来判断正项级数的敛散性，而是常用正项级数的比较判别法来判断正项级数的收敛性．
（二）正项级数比较判别法 定理二 比较判别法
设?un和?vn都是正项级数，且un?vn（n=1，2，?）
n?1n?1??
（1） 若级数?vn收敛，则级数?un也收敛．
n?1?n?1???（2） 若级数?un发散，则级数?vn也发散．
n?1n?1 [例3] 证明级数 1?111????3571??? 是发散的 n2?1??1111 证 因为级数的一般项un=＞＞0，而级数?与级数?有相
2n?12nn?12nn?1n同的敛散性，
?11因调和级数?是发散的，即级数?亦发散，由正项级数的比较判别法推得
n?1nn?12n?级数?1也发散．
n?12n?11111?2?3???n??（a＞0）收敛 2?a2?a2?a2?a? [例4] 证明级数
?111 证 因为级数的一般项0＜un= n＜n 而等比级数?n是收敛的，
2?a2n?12故由正项级数的比较判别法推得级数?1亦收敛． nn?12?a?[例5] 讨论p级数
解 当p≤1时
11111??????? （p＞0）的敛散性． =?pppp23nn?1n?11?；由于调和级数是发散的，根据比较判别法，当p≤1pnn时p级数是发散的；
当p＞1时，顺序把所给级数一项、两项、四项、八项?括在一起，得到
?11111??????? =pppp23nn?1n?1?1 =1??p?p3?2111??1??????p5p6p7p??41??1??????p15p??8???? ????? ?1??1111??111?1 ＜1??p?p???p?p?p?p???p?p??p2??4444??888?2?1??1??1? =1??p?1???p?1???p?1???
?2??2??2?23
但最后一个级数是等比级数，其公比q=＞1时,p—级数收敛．
综上所述：p—级数?例如 （1） 级数 1?121212p?1＜1，所以收敛．于是，当p
1当当p≤1时发散；当p＞1时收敛． pn?1n121312??131412?14??1n??
= 1?????1n12??
1＜1，故该级数发散． 2111（3） 级数 1?2?2???2??
23n为p—级数，因为其中p=2＞1，故该级数收敛．
应用比较判别法的关键在于，把所要判定的正项级数与一个已知的正项级数作比较．一般把几何级数、调和级数、p—级数作为比较级数．
对于比较判别法，在应用时还有不太方便之处，我们经常使用另外一种判别法—比值判别法．
（三）正项级数的比值判别法
定理三 比值判别法（达朗贝尔比值判别法）
为p—级数，因为其中p=
设正项级数?un之后项与前项的比值的极限等于? ，即：
n?1?u limn?1??
n??un则（1）当?＜1时，级数收敛； （2）当?＞1（或lim
un?1??）时，级数发散；
n??un（4） 当?=1时，级数可能收敛也可能发散．
[例6]判别级数 1??敛散性
解 第n项为un=
11111????1?21?2?3?1?2?3??n???的
?11
1?2?3???n?1?
于是得
un?1un11=1?2?3??n?
1n1?2?3???n?1?u1因为 limn?1=lim=0＜1
n??nn??un根据比值判别法，级数收敛．
52535n[例7]判别级数5?5?5???5?? 的敛散性．
23n5n解 第n项为un?5
n5n?1un?1?n?1?5n5于是得 ??n5un5?n?1?n5un?15n5??lim?5?1 因为lim5n??un???n?1?n5根据比值判别法，级数发散．
11?21?2?3??的敛散性． [例8]判别级数?2?3101010n?解 第n项为un?n
10un?1?n?1??10nn?1于是= ??n?1n?10un10因为limun?1n?1?? =limn??10x??un??????? 的敛散性 ?????????故级数发散
[例9]判别级数
解 第n项为un?1
?2n?1???2n?于是
un?1?2n?1???2n?1= ?un1?2n?1???2n?2?
=
n??2n?1??n?1???2n?1?
因此limn??2n?1?un?1=lim?1
x??un???n?1???2n?1?n此时，?=1,比值判别法失效，必须用其他方法判别级数的敛散性． （四）正项级数的根值判别法（柯西判别法） 设正项级数的一般项un
的n次方根等于极限L，即
limnn??un=L
则（1）当L<1时，级数收敛； （2）当L>1时，级数发散；
（3）当L=1时，级数可能收敛也可能发散．[例10]?n?n判别级数??n?1??2n?1??的敛散性．
解 因为limnnn??un=limn??2n?1=12<1
?由根值判别法知，级数???n?n2n?1??是收敛的．
n?1?
二、 交错级数
定义1 凡各项是正、负交错的级数，叫交错级数．即????1?n?1un?u1?u2?u3?u4?????1?n?1un??
n?1?un?0,n?1,2,3,?? ? 或
???1?nunn??u1?u2?u3?u?4????1?un??
n?1?un?0,n?1,2,3,?? 对于交错级数的收敛性有下面的判别方法
定理1 （莱布尼兹判别法）若交错级数
????1?n?1un?un?11?u2?u3?u4?????1?un??
n?1?un?0,n?1,2,3,??
（1）
（2）