内容发布更新时间 : 2024/5/5 16:40:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

f?x??f?x0?? ?f??x0?1!?x?x0??n?1f???x0?2!?x?x0??...?2f?n??x0?n!?x?x0?n

f?n?1?????n?1?!?x?x0? （其中?在x与x0之间）

上式称为f?x?的泰勒展开式或泰勒公式，利用泰勒公式，我们可以用一个关于

?x?x0?的n次多项式

pn?x??f?x0??f??x0?1！?x?x0??f???x0?2！?x?x0?2?...?f?n??x0?n！?x?x0?n

（也称为泰勒多项式）来近似的表达函数f?x?，并可通过余项

Rn?x??f?n?1?????n?1?！?x?x0?n?1

估计误差．

0?1，此时公式成为 在泰勒公式中，当x0?0时，记???x，〈〈f?x??f?0??f??0?1！x?f???0?2！x?...?2f?n??0?n!x?nf?n?1???x??n?1?!xn?1`

称为f?x?的麦克劳林公式，或称为按x的幂展开的泰勒公式． 2泰勒级数

如果f?x?在点x0的某邻域内具有各阶导数f??x?，f???x?，?，f?n??x?，?，我们称级数

f?x0??f??x0??x?x0??f???x0?2!?x?x0?2?...?f?n??x0?n!?x?x0?n?...

为f?x?在x?x0的泰勒级数．特别当x0?0时，则称它为f?x?的麦克劳林级数．即

f?0??f??0?x?f???0?2!x2?...?f?n??0?n!xn?...

泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广，于是，带来了两个问题：一个是该级数在什么条件下收敛，二是该级数是否收敛于函数f?x?，关于这些问题，有下叙定理．

定理 设函数f?x?在点x0的某一邻域内具有各阶导数，则f?x?在该邻域内

能展开成泰勒级数的充要条件是f?x?的泰勒公式中的余项Rn?x?当n??时的极限为零．即

Rn?x?=0 limn??也就是说，函数f?x?能展开成泰勒级数必须满足如下两个条件：

（1）f?x?在所讨论的x0的邻域内存在各阶导数； （2）其余项 limRn?x?=0

n??两者缺一不可．此外，我们可以证明这种展开式是唯一的（证明不作要求）．

二 函数展开成幂级数

下面，我们把最常见的初等函数展开成幂级数 1 直接展开法

由以上讨论结果可以看出，直接按公式将所给函数f?x?展开成x的幂级数的步骤是；

（1） 求出f?x?各阶导数f??x?，f???x?，?，f?n??x?，?，如果在x0（主

要讨论x0?0的情形）处某阶导数不存在，就停止进行；

（2） 求函数及各阶导数在x0处的值 f?n??xf??x?,?????0x；, ...0?,f?00x,....,f（3） 求出幂级数

f?x0??f??x0??x?x0??的收敛半径R；

f???x0?2!?x?x0??....?2f?n??x0?n!?x?x0?n?...

（4） 考察当x在收敛区间??R,R?内时余项Rn?x?的极限

limRn?x?=limn??f?n?1????n???n?1?!?x?x0?n?1 （其中?在x与x0之间）

是否为零，如果为零，则第三步求出的幂级数就是函数f?x?的幂级数

展开式；如果不为零，幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f?x?． 例1 将函数f?x?=ex展开成x的幂级数 解 求出各阶导数

f??x?=ex，f???x?=ex，?，f?n??x?=ex，?

于是 f?0??1，f??0??1，f???0??1，?，f?n??0??1，?

x2xn?..?.? ...故得级数 1?x?2!n!它的收敛半径为R???

对于任何有限数x，? （?在0与x之间）余项的绝对值为 Rn?x??exn?1x?e

1!?n?1?!?n??xn?1?xn?1因为e有限，而

xn?1x?n?1?!是收敛级数的一般项，所以，当n??时，

?n?1?!e?0 即limRn?x?=0

xn??x2xn?...??... ????所以得展开式 e=1?x? x????2!n!x例2 将函数f?x??sinx展开成x的幂级数． 解 求出各阶导数

???f??x?=cosx,f???x?=?sinx,f????x?=?cosx,?,f?n??x?=sin?x?n?,?

2??于是，f?0?=0，f??0?=1，f???0?=0， f????0???1，?，顺序循环得这几个数：0，1，0，

?1，于是得级数

x3x5x2n?1nx???...???1??...

3!5!2n?1!??它的收敛半径R???

对于任何有限数x，? （?在0与x之间）余项的绝对值，当n??时极限为零

??n?1???sin???n?1?2x??xn?1≤?0 ?n??? Rn?x?=

n?1!n?1!????Rn?x?? 0即 limn??

于是得展开式

x3x5x2n?1nsinx?x???...???1??... （???x???）

3!5!?2n?1?!用同样的方法可证得

2nx2x4nx?... （???x???） cosx=1???...???1?2!4!?2n?! 2 间接展开法

以上两个例子是用直接方法（直接按公式an?f?n??0?n!计算幂级数的系数）

展开成幂级数的，这种直接方法计算量较大，而且最后要考察余项Rn是否收敛于零，这是一件很不容易的事情．下面，我们利用幂级数本身的性质，如四则运算，逐项微分，逐项积分等，把函数f?x?展开成为x的幂级数，这样计算简单，而且往往可以避免直接研究余项，根据函数展开的唯一性，可知这与直接方法所

得的结果一样．

x3x5x2n?1nsinx?x???...???1??... （???x???）

3!5!?2n?1?!如把它逐项微分，就得到

2nx2x4nx?... （???x???） cosx=1???...???1?2!4!2n!??例3 将函数f?x??ln?1?x?展开成x的幂级数．

?11n 解 因为f??x??，而是收敛的几何级数???1?xn （-1＜x＜1） 的

1?x1?xn?01n?1?x?x2?x3?...???1?xn?... （-1＜x＜1） 1?x所以将上式从0到x逐项积分，得

和函数，即

n?1x2x3x4nxln?1?x??x????...???1??... （-1＜x≤1）

234n?1此展开式对于x=1也是正确的，于是有 111n?11ln2?1????...???1??...．

234n 为了便于记忆和查阅，现将几个重要函数的x幂级数展开式归纳如下：

x2xn?...??... ????（1）e=1?x? x????2!n!x

x3x5x2n?1n（2）sinx?x???...???1??... （???x???）

3!5!?2n?1?!2nx2x4nx（3）cosx=1???...???1??... （???x???）

2!4!2n!??n?1x2x3x4nx???...???1??... ??1?x?1? （4）ln?1?x??x?234n?1（5）

?1?x???1??x?????1?2!x?...?2????1?...???n?1?n!xn?...

??1?x?1?

最后，再举一个将函数展开成?x?x0?的幂级数的例子

???例4 将函数f?x?=sinx展开成?x??的幂级数

4????????x=sin???x??? 解 因为 sin4???4? =sin????????cos?x???cossin?x?? 44?44??? =1????????cosx??sinx????? ??442??????24用公式表中（2）、（3）得

??????x?x???????4?4?? cos?x???1?? x?????... ??????42!3!????????x????x????44???????? sin?x????x???? x???... ??????4??4?3!5!?两式相加，就有

23????????x?x??????1?????4?4???1??x?????...? ???? sinx? x?????4?2!3!2??????习题5.3

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