内容发布更新时间 : 2024/12/27 13:36:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。 不过，这个解释并不能让我十分满意。大家怎么看呢？

有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是 1Ω 的电阻丝。求相邻两点间的等效电阻阻值。

这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为 1A 的电流从红点处流入，从各个无穷远处流出。由对称性，有 (1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。现在，再假设一个大小为 1A 的电流从各个无穷远处流入，从蓝色点流出。由对称性，红蓝两点之间的线段仍然有 (1/4)A 的电流。现在，把两种情况叠加在一起看，大小为 1A 的电流从红点进去从蓝点出来，那么，红蓝两点间的线段就有 (1/2)A 的电流。因而，两点间的电压就是 (1/2)A·1Ω = (1/2)V 。因而两点间的等效电阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)Ω。 说到无穷网格电阻的问题，我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如，我们可以把问题扩展到 N 维的情形：N 维无限电阻网格中，相邻两点的等效电阻是多少？利用同样的方法可以得出，答案就是 1/N。

回到二维情形，如果我们换一个扩展方向，改问对角两点间的电阻，上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙：两点间的阻值为 (π/2)Ω 。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。

xkcd 有一个经典漫画，形象地描绘出 nerd 们被数理趣题折磨的感受。当然，这幅画本身也折磨了不少人，网上涌现出大量对这个问题的讨论。

还有一种经典的无穷电阻问题：一个向右无穷延伸的梯子形网格，每条线段都是 1Ω 的电阻，求两点间的等效电阻。

问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是 R，则 R 可以看作是三个 1Ω 的电阻串联，然后把一个阻值为 R 的电阻（也就是它本身）与中间那个 1Ω 电阻并联所得。于是得到等量关系 R = 1 + 1/(1+1/R) + 1，解得 R = 1 + √3。

还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是，一个正方体的 12 条棱上各有一个 1Ω 的电阻，求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This 的题目则是，分别考虑五种正多面体，如果每条棱上各有一个 1Ω 的电阻，则相邻两顶点的等效电阻是多少？巧妙地利用对称性，这几个问题都可以迅速被秒杀。

假设有一个圆锥形的冰山，冰山表面绝对光滑。你打算把一个绳圈套在山尖上，然后沿着绳索爬上去。考虑两个极端情况：如果冰山特别 尖，顶角特别小，这个计划自然不成问题；但若冰山特别“肥”，顶角特别大，向下拉绳子后，绳圈将会滑出山尖。这中间一定有一个临界点，也就是绳圈掉不出来 的最大顶角。这个顶角是多大？

这是一个非常有趣的问题。问题的本质就是，绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。容易想到，绳子被拉紧，意味着绳圈从 A 点出发，将沿最短路径绕过山尖一周，再回到 A 点。如果把圆锥的侧面展开成扇形，绳圈其实就像下面这样（图中的 A 点和 A' 点在圆锥上是同一个点）。

显然，当这个扇形的顶角小于 180 度时，这样的绳圈才可能存在；而当这个扇形的顶角大于 180 度时，拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。据此不难推出，所求的临界情况就是，圆锥的高与母线的夹角为 30 度。

n 块相同的木板重叠，最多能够伸出桌面多远？

这是一个非常经典的问题。传统的答案是，把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘，把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘，把这三块 木板的重心放在第四块木板的右边缘??利用杠杆原理可以推出，如果每块木板都是单位长，那么 n 块木板可以伸出桌面 (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) / 2 个单位的长度。由调和级数的性质，我们立即可以得知，只要木板数量足够多，木块伸出桌面的长度是没有上界的，想伸出去多长就能伸出去多长。但同时，这个增 长速度也非常缓慢?? 20 块木板只能伸出大约 1.79887 个单位的长度， 1000 块木板也只能伸出大约 4.8938 个单位的长度。

不过，采用一些其它的方案（比如拿几块木板在后方作为“配重”），我们可以让木板伸出的长度更远。下面是一篇非常经典的论文，总结了目前对这个问题的研究结果：

http://arxiv.org/abs/0707.0093 。

上楼时，人克服重力做功，需要耗费很多能量。但是，在平地上行走时，人并没有做功。那么，为什么我们走路时还要耗费能量呢？

1999 年 3 月的 Scientific American 上说到，其实在步行时，我们也是要克服重力做功的。这是因为，在步行的过程中，人的重心会一上一下地摆动。当两腿一前一后着地时，人的重心偏低；而单腿着 地迈步时，人的重心会升高大约 3cm 。我们走路的能量主要就消耗在了这里。

当然，事实上，即使人不走路，光是原地站着，也是要耗费能量的（大约为 80W ）。假设人的步行速度是 v ，那么步行所用的能量可以用公式 P = 80W + K·v 大致算出，其中 K·v 就是步行过程中耗费的能量，系数 K 大约为 160N 。

教中学物理最怕聪明孩子，一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。初中物理中，有几个最不好给学生解释的事情。走路不做功，为什么还要耗 费能量？电流从电厂来又回到电厂去，为什么我们还要支付电费？把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来，为什么大气压没有把水支撑起来？拳头打在墙上后将会受到 墙给拳头的反作用力，但若拳头挥空了，这个力的反作用力是什么？ 你都打算怎么解释？

橄榄油的沸点是 300℃ ，锡的熔点是 231.9℃ 。为什么我们能在锡锅里炸东西？

答案：橄榄油并没有沸腾，沸腾的其实是食物里的水。而且，正是食物里的水才让橄榄油和锡锅都保持在 100℃ 。如果食物里的水被烧干了，食物就会被烧焦，锡锅当然也会被烧毁。

在晃动的火车车厢上，把一瓶水放在小桌子上。如果想让这瓶水放得更稳，有一个极其简单的方法。这个方法是什么？

答案：喝掉一部分水，让整瓶水的重心下降。

注意，这里又有一个有趣的极值问题。如果瓶子里装满水，整个系统的重心显然要比只装有一部分水时更高；但若把水全部喝掉，只剩一个空瓶子，整个系统的重心仍然会比有一部分水时高。建立模型，求出使得整个系统重心最低的水位高度，是一个绝佳的物理课题。

有一个蛮有意思的结论：当整个系统的重心达到最低时，水位一定和此时整个系统的重心高度相同。其实这个很好理解：当水位没有达到整个系统的重心高 度时，每加一点水，都相当于在重心下方填充质量，让重心下降；但水位高度超过了整个系统的重心，则每加一点水，都相当于在重心上方新添质量，重心便会开始 上升了。

12 节 1V 的电池首尾相接，然后将一块电压表如图连接。电压表的示数是多少？